calculo-de-una-variable-1

184 |||| CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN
Si divide entre x, obtiene
uv
x
u v
x v u
x
u
v
x
& Recuerde que en la notación de Leibniz la
definición de derivada se puede escribir como
dy
dx lím y
x l 0 x
Si ahora hace que x l 0, obtiene la derivada de uv.
d
uv
uv lím lím
dx x l 0 x x l 0u v
x v u
x
v
u lím
x l 0 x v lím u
x l 0 x lím u v
lím
x l 0 x l 0 x
u dv
dx v du
dx 0 dv
dx
v
u
x
2
d dv
uv u
dx dx v du
dx
(Advierta que u l 0 cuando x l 0, puesto que f es derivable y, por lo tanto, continua.)
Aun cuando se partió de la hipótesis (para la interpretación geométrica) que todas las
cantidades son positivas, observe que la ecuación 1 siempre es verdadera. (El álgebra
es válida si u, v, u y v son positivas o negativas.) De modo que ha probado la ecuación 2,
conocida como regla del producto, para todas las funciones diferenciables u y v.
&
En notación prima:
ft ft tf
REGLA DEL PRODUCTO
Si tanto f como g son derivables, en tal caso
d
dx f xtx f x d dx tx tx d dx f x
En palabras, la regla del producto expresa que la derivada de un producto de dos funciones
es la primera función multiplicada por la derivada de la segunda función, más la
segunda función multiplicada por la derivada de la primera función.
& En la figura 2 se muestran las gráficas de
la función f del ejemplo 1 y su derivada f.
Advierta que f(x) es positiva cuando f crece
y negativa cuando f disminuye.
3
EJEMPLO 1
(a) Si f x xe x , encuentre f x.
(a) Hallar la n-ésima derivada, f (n) (x).
SOLUCIÓN
(a) Por la regla del producto se tiene
f x d dx xex x d dx e x e d x dx x
xe x e x 1 x 1e x
fª
_3 1.5
f
_1
FIGURA 2
(b) Aplicando la regla del producto una segunda vez se obtiene
f x d dx [x 1e x ] (x 1) d dx e x e x
(x 1)e x e x 1 (x 2)e x
d
x 1
dx