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SECCIÓN 11.1 SUCESIONES |||| 683
12 TEOREMA DE LA SUCESIÓN MONÓTONA
convergente.
Toda sucesión acotada y monótona es
DEMOSTRACIÓN Suponga que a n es una sucesión creciente. Puesto que a n está acotada, el
conjunto S a n n 1 posee una cota superior. De acuerdo con el axioma de completitud,
tiene una cota mínima superior L. Dado 0, L no es una cota superior
para S (puesto que L es la cota superior mínima). Por lo tanto,
a N L
para un entero N
Pero la sucesión es creciente de modo que a n a N para toda n N. En estos términos,
si n N
a n L
de tal manera
puesto que a n L. Así que,
0 L a n
L a n
cuando n N
así lím n l a n L .
Una demostración similar (aplicando la cota inferior más grande) funciona si a n es
decreciente.
La demostración del teorema 12 demuestra que una sucesión que es creciente y
acotada por arriba es convergente. (De igual manera, una sucesión decreciente que está
acotada por abajo es convergente.) Este hecho se aplica muchas veces al trabajar con
series infinitas.
EJEMPLO 13 Investigue la sucesión a n definida por la relación de recurrencia
a 1 2
a n1 1 2a n 6
para n 1, 2, 3, …
SOLUCIÓN Para empezar se calculan los primeros términos:
a 1 2
a 2 1 22 6 4
a 3 1 24 6 5
a 4 1 25 6 5.5
a 5 5.75 a 6 5.875
a 7 5.9375 a 8 5.96875 a 9 5.984375
& Con frecuencia, la inducción matemática
se aplica cuando se trabaja con sucesiones
recursivas. Véase página 77 donde se encuentra
un análisis del principio de inducción matemática.
Estos términos iniciales hacen pensar que la sucesión es creciente y que los términos se
aproximan a 6. Para confirmar que la sucesión es creciente, aplique la inducción matemática
para demostrar que a n1 a n para toda n 1. Esto es válido para n 1 porque
a 2 4 a 1 . Si supone que se cumple para n k, después tiene
a k1 a k
de modo que a k1 6 a k 6
y
Por esto,
1
2a k1 6 1 2a k 6
a k2 a k1