calculo-de-una-variable-1

418 |||| CAPÍTULO 6 APLICACIONES DE LA INTEGRACIÓN
Aplique la regla del punto medio con n 4 intervalos, de modo que t 4. Los
puntos medios de los intervalos son t 1 2, t 2 6, t 3 10 y t 4 14. Estime la distancia
entre los automóviles después de 16 segundos, como se indica a continuación:
y 16
v A v B dt t 13 23 28 29
0
493 372 pies
y
y=©
S¡
S S£
y=ƒ
0 a
b x
FIGURA 9
Si se pide determinar el área entre las curvas y f x y y tx donde f x tx
para algunos valores de x pero tx f x para otros valores de x, entonces divida la
región dada S en varias regiones S 1 , S 2 ,...con áreas A 1 , A 2 ,...como se ilustra en la figura 9.
Después defina el área de la región S como la suma de las áreas de las regiones más pequeñas
S 1 , S 2 ,...,es decir, A A 1 A 2 . Puesto que
f x tx f x tx
tx f x
cuando f x tx
cuando tx f x
tiene la expresión siguiente para A.
3
El área entre las curvas y f x y y tx y entre x a y x b es
A y b
a
f x tx dx
A 1
Al evaluar la integral en (3), aún puede dividir en integrales que corresponderían a
, ,....
A 2
V EJEMPLO 5 Calcular el área de la región acotada por las curvas y sen x, y cos x,
x 0 y x 2.
y
x=0
FIGURA 10
y =cos x
A¡
A
y=sen x
x= π 2
0 π π
x
4 2
SOLUCIÓN Los puntos de intersección se presentan cuando sen x cos x, es decir, cuando
x 4 (puesto que 0 x 2). La región se ilustra en la figura 10. Observe que
cos x sen x cuando 0 x 4 pero sen x cos x cuando 4 x 2. Por lo
tanto, el área requerida es
2
A y cos x sen x dx A 1 A 2
0
y
0
4
sen x cos x 4 2
0 cos x sen x4
1 s2 1
s2 0 1 0 1 1
s2 s2 1
2s2 2
cos x sen x dx y
2
4
sen x cos x dx
En este ejemplo en particular podría haber ahorrado algún trabajo observando que la
región es simétrica con respecto a x 4 y así
A 2A 1 2 y
0
4
cos x sen x dx