calculo-de-una-variable-1

190 |||| CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN
de la sección 2.8), parece que la gráfica de esta última es la misma que la curva coseno
(véase figura 1).
y
y= ƒ= sen x
0 π π
2π
2
x
TEC Visual 3.3 muestra una animación
de la figura 1
y
y= fª(x)
0 π
2
π
x
FIGURA 1
Intente confirmar la conjetura de que si f(x) sen x, por lo tanto f(x) cos x. A partir de
la definición de derivada
& Se usa la fórmula de la adición para el seno.
Véase el apéndice D.
1
f x lím
h l 0
lím
h l 0
sen x cos h cos x sen h sen x
h
lím
h l 0
f x h f x
h
sen x cos h sen x
h
lím x
h l 0sen cos h 1
h
lím
h l 0
senx h sen x
h
cos x sen h
h
cos h 1
sen h
lím sen x lím lím cos x lím
h l 0 h l 0 h
h l 0 h l 0 h
cos x sen h
h
Dos de estos cuatro límites son fáciles de evaluar. Puesto que se considera a x como constante
al calcular un límite cuando h l 0, tiene
lím sen x sen x
h l 0
y
lím cos x cos x
h l 0
El límite de sen hh no es tan obvio. Con base en la evidencia numérica y gráfica, en el
ejemplo 3 de la sección 2.2, se infiere que
2
lím
l 0
sen
1
Ahora, use un argumento geométrico para probar la ecuación 2. Suponga primero que se
encuentra entre 0 y p2. En la figura 2(a) se muestra un sector de círculo con centro en
O, ángulo central u y radio 1. BC se traza perpendicular a OA. Por la definición de radián,