calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 5.2 LA INTEGRAL DEFINIDA |||| 369
EVALUACIÓN DE INTEGRALES
Cuando aplica la definición para evaluar una integral definida, necesita saber cómo trabajar
con sumas. Las tres ecuaciones siguientes dan las fórmulas para las sumas de potencias de
enteros positivos. Es posible que conozca la ecuación 5 desde un curso de álgebra. Las ecuaciones
6 y 7 se analizaron en la sección 5.1 y se prueban en el apéndice E.
5
6
7
n nn 1
i
i1 2
n nn 12n 1
i 2
i1
6
n
i 3
i1
nn 1
2
2
Las fórmulas restantes son reglas sencillas para trabajar con la notación sigma:
& Las fórmulas 8 a 11 se prueban escribiendo
cada uno de los miembros en forma desarrollada.
El lado izquierdo de la ecuación 9 es
ca 1 ca 2 ca n
El lado derecho es
ca 1 a 2 a n
Por la propiedad distributiva, éstas son iguales.
Las otras fórmulas se analizan en el apéndice E.
8
9
10
11
n
c nc
i1
n
ca i c n
a i
i1
i1
n
a i b i n
a i n
b i
i1
i1 i1
n
a i b i n
a i n
b i
i1
i1 i1
EJEMPLO 2
(a) Evalúe la suma de Riemann para f x x 3 6x, tomando los puntos muestras de
los puntos extremos de la derecha y a 0, b 3 y n 6.
(b) Evalúe x 3 6x dx.
SOLUCIÓN
(a) Con
y 3
0
n 6 el ancho del intervalo es
x b a
n
3 0
6
1 2
y los puntos extremos de la derecha son x 1 0.5, x 2 1.0, x 3 1.5, x 4 2.0, x 5 2.5 y
x 6 3.0. De modo que la suma de Riemann es
R 6 6
f x i x
i1
f 0.5 x f 1.0 x f 1.5 x f 2.0 x f 2.5 x f 3.0 x
1 22.875 5 5.625 4 0.625 9
3.9375