calculo-de-una-variable-1

712 |||| CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS
por lo que la condición (ii) no se cumple. En cambio, vea el límite del n-ésimo término
de la serie:
lím a 1 n 3n
n lím
n l n l 4n 1
Este límite no existe, de modo que la serie es divergente de acuerdo con la prueba de la
divergencia.
EJEMPLO 3 Pruebe si la serie
n 2
1 n1
n1 n 3 1
es convergente o divergente.
SOLUCIÓN La serie dada es alternante, de modo que trate de comprobar las condiciones (i)
y (ii) de la prueba de la serie alternante.
Al contrario de la situación en el ejemplo 1, no es obvio que la sucesión dada por
b n n 2 n 3 1 sea decreciente. Sin embargo, si considera la función relacionada fx
x 2 x 3 1, encuentre que
& En lugar de verificar la condición (i) de la
prueba de la serie alternante calculando una
derivada, puede comprobar que b n1 b n
directamente usando la técnica de la solución 1
del ejemplo 12 de la sección 11.1.
f x x2 x 3
x 3 1 2
Puesto que se consideran sólo x positivas, fx 0 si 2 x 3 0, es decir, x s 3 2. De
esta manera, f es decreciente en el intervalo (s 3 2, ) . Esto quiere decir que fn 1
fn y, por lo tanto, b n1 b n cuando n 2. (La desigualdad b 2 b 1 se puede comprobar
de manera directa, pero lo que realmente importa es que la sucesión b n decrece con el
tiempo.)
La condición (ii) se comprueba rápidamente:
lím b n 2
n lím
n l n l n 3 1 lím
n l
1
n
1 1 0
n 3
Por esto, la serie dada es convergente de acuerdo con la prueba de la serie
alternante.
ESTIMANDO SUMAS
Una suma parcial de s n de cualquier serie convergente se puede usar como una aproximación
a una suma total s, pero no es muy utilizado, a menos que estime la exactitud de
la aproximación. El error generado al usar s s n es el residuo R n s s n. El teorema
siguiente establece que para las series que cumplen con la condición de la prueba de la
serie alternante, el tamaño del error es menor que b n1 , lo cual es el valor absoluto del
primer término ignorado.
& Desde el punto de vista de la geometría,
puede ver por qué el teorema de estimación
para series alternantes es verdadero al examinar
la figura 1 en la página 710. Observe que
s s , s 4 b 5 s5 b 6 , y así sucesivamente.
Note también que s queda entre dos sumas
parciales consecutivas.
TEOREMA DE ESTIMACIÓN PARA SERIES ALTERNANTES
suma de una serie alternante que cumple con
entonces
(i) 0 b n1 b n y (ii)
R n s s n b n1
Si s 1 n1 b n es la
lím b n 0
n l
DEMOSTRACIÓN Sabemos de la demostración para la prueba de series alternantes que s queda
entre dos sumas parciales consecutivas s n y s n1 . Se infiere que
s s n s n1 s n b n1