calculo-de-una-variable-1

298 |||| CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVACIÓN
(c) Suponga que f es creciente y que t es decreciente. Demuestre
mediante tres ejemplos que ft podría ser cóncava hacia
arriba, cóncava hacia abajo o lineal. ¿Por qué no se aplica el
razonamiento de los incisos (a) y (b) en este caso?
74. Suponga que f y t son cóncavas hacia arriba en , . ¿En
qué condiciones de f la función compuesta hx f tx será
cóncava hacia arriba?
75. Demuestre que tan x x para 0 x 2. Sugerencia:
Demuestre que f x tan x x es creciente en 0, 2.
76. (a) Demuestre que e x 1 x para x 0.
(b) Infiera que e x 1 x 1 2 x 2 para x 0.
(c) Aplique la inducción matemática para probar que para
x 0 y cualquier entero positivo n,
e x 1 x x 2
2! x n
n!
77. Demuestre que una función cúbica (un polinomio de tercer grado)
siempre tiene con exactitud un punto de inflexión.
Si su gráfica tiene tres intersecciones x 1, x 2 y x 3, demuestre que
la coordenada x del punto de inflexión es x 1 x 2 x 33.
; 78. ¿Para cuáles valores de c el polinomio Px x 4 cx 3 x 2
tiene dos puntos de inflexión diferentes? ¿Acaso ninguno? Ilustre
dibujando P para diversos valores de c. ¿Cómo cambia la
gráfica a medida que c decrece?
79. Demuestre que si c, f c es un punto de inflexión de la gráfica
f y f existe en un intervalo abierto que contiene c, entonces
f c 0. [Sugerencia: aplique la prueba de la primera derivada
y el teorema de Fermat a la función t f .]
80. Demuestre que si f x x 4 , entonces f 0 0, pero 0, 0 no
es un punto de inflexión de la gráfica de f.
tx x x
81. Demuestre que la función posee un punto de inflexión
en 0, 0 pero t0 no existe.
82. Suponga que f es continua y f c f c 0, pero
f c 0. ¿La función f tiene un máximo relativo o un mínimo
relativo en c? ¿Tiene f un punto de inflexión en c?
83. Los tres casos en la prueba de la primera derivada cubren las
situaciones que por lo general uno se encuentra, pero sin extraer
todas las posibilidades. Considere las funciones f, g y h cuyos
valores en 0 todos son 0 y, para x 0,
f x x 4 sen 1 4
h x x 42 sen
x
1
tx x 4 2 sen 1 x
(a) Demuestre que 0 es un número crítico de las tres funciones
pero sus derivadas cambian de signo con frecuencia de
manera infinita en ambos lados de acero.
(b) Demuestre que f no tiene un máximo local ni un mínimo local
en 0, g tiene un mínimo local, y h tiene un máximo
local.
4.4
FORMAS INDETERMINADAS Y LA REGLA DE L’HOSPITAL
Suponga que intenta analizar el comportamiento de la función
Fx
ln x
x 1
Aunque F no está definida cuando x 1, necesita saber cómo se comporta F cerca de 1. En
particular, le gustaría conocer el valor del límite
1
lím
x l1
ln x
x 1
Pero no puede aplicar la ley 5 de los límites (el límite del cociente es el cociente de los límites,
véase sección 2.3) porque el límite del denominador es 0. De hecho, aun cuando el
límite en (1) existe, su valor no es obvio porque el numerador y el denominador tienden a
0
0 y 0 no está definido.
En general, si tiene un límite de la forma
lím
x l a
f x
tx
donde tanto f x l 0 y tx l 0 cuando x l a, en tal caso este límite puede existir o
0
no y se conoce como forma indeterminada del tipo . En el capítulo 2 encontró al-
0