calculo-de-una-variable-1

356 |||| CAPÍTULO 5 INTEGRALES
y
y=≈
(1, 1)
y
(1, 1)
S¡
S
S£
S¢
0
1
4
1
2
3
4
1
x
0 1 1 3 1
4 2 4
x
FIGURA 4
(a)
(b)
Puede obtener una aproximación de cada franja por medio de un rectángulo cuya base
sea la misma que la de la franja y cuya altura sea la misma que la del lado derecho de la
propia franja véase la figura 4(b). En otras palabras, las alturas de estos rectángulos
son los valores de la función f x x 2 en los puntos extremos de la derecha de los subintervalos
[0, 1 4] , [ 1 4, 1 2] , [ 1 2, 3 4] y [ 3 4, 1] .
Cada rectángulo tiene un ancho de 1 y las alturas son ( 1 4) 2
, ( 1 2) 2
, ( 3 4) 2
4
y 1 2 . Si denota
con R 4 la suma de las áreas de estos rectángulos de aproximación, obtiene
R 4 1 4 ( 1 4) 2 1 4 ( 1 2) 2 1 4 ( 3 4) 2 1 4 1 2 15
32 0.46875
A partir de la figura 4(b) se ve que el área A de S es menor que
R 4
, de modo que
A 0.46875
y
y=≈
(1, 1)
En lugar de usar los rectángulos de la figura 4(b), es posible optar por los más pequeños
de la figura 5, cuyas alturas son los valores de f en los puntos extremos de la izquierda de
los subintervalos. (El rectángulo de la extrema izquierda se ha aplastado, debido a que su
altura es 0.) La suma de las áreas de estos rectángulos de aproximación es
L 4 1 4 0 2 1 4 ( 1 4 ) 2 1 4 ( 1 2 ) 2 1 4 ( 3 4) 2 7 32 0.21875
0
1
4
FIGURA 5
1
2
3
4
1
x
El área de S es mayor que L 4 , de modo que se tiene estimaciones superior e inferior
para A:
0.21875 A 0.46875
Es posible repetir este procedimiento con un número mayor de franjas. En la figura
6 se muestra lo que sucede cuando divide la región S en ocho franjas de anchos
iguales.
y
y
y=≈
(1, 1)
(1, 1)
FIGURA 6
Aproximación de S con
ocho rectángulos
0 1
1
8
(a) Usando los puntos extremos
de la izquierda
x
0 1
1
8
(b) Usando los puntos extremos
de la derecha
x