calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 10.3 COORDENADAS POLARES |||| 639
PROYECTO DE
LABORATORIO
;
CURVAS DE BÉZIER
Las curvas de Bézier se emplean en el diseño auxiliado por computadora y se nombran en honor
al matemático francés Pierre Bézier 1910-1999, quien trabajó en la industria automotriz. Una
curva de Béizer cúbica se determina mediante cuatro puntos de control, P 0x 0, y 0, P 1x 1, y 1,
P 2x 2, y 2 y P 3x 3, y 3, y se define mediante las ecuaciones paramétricas.
x x 01 t 3 3x 1t1 t 2 3x 2t 2 1 t x 3t 3
y y 01 t 3 3y 1t1 t 2 3y 2t 2 1 t y 3t 3
donde 0 t 1. Observe que cuando t 0, se tiene x, y x 0, y 0 y cuando t 1 se tiene
x, y x 3, y 3, así que la curva empieza en P 0 y termina en P 3.
1. Grafique la curva de Bézier con puntos de control P 04, 1, P 128, 48, P 250, 42 y
P 340, 5 en seguida, en la misma pantalla, grafique segmentos de recta P 0P 1, P 1P 2 y P 2P 3. (El
ejercicio 31 en la sección 10.1 muestra cómo hacer esto). Observe que los puntos de control
medios P 1 y P 2 no están sobre la curva; ésta empieza en P 0, se dirige hacia P 1 y P 2 sin
alcanzarlos y termina en P 3.
2. De la gráfica del problema 1 se ve que la tangente en P 0 pasa por P 1 y la tangente en P 3 pasa
por P 2. Demuéstrelo.
3. Intente producir una curva de Bézier con un bucle cambiando el segundo punto de control en
el problema 1.
4. Algunas impresoras láser usan las curvas de Bézier para representar letras y otros símbolos.
Experimente con puntos de control hasta que encuentre una curva de Bézier que dé una
representación razonable de la letra C.
5. Formas más complicadas se pueden representar al juntar dos o más curvas de Bézier. Suponga
que la primera curva de Bézier tiene puntos de control P 0, P 1, P 2, P 3 y la segunda tiene
puntos de control P 3, P 4, P 5, P 6. Si se desea unir estos dos trozos de manera uniforme, en tal
caso las tangentes en P 3 deben corresponder y, por lo tanto, los puntos P 2, P 3 y P 4 tienen que
estar en esta línea tangente común. Con este principio, determine los puntos de control para
un par de curvas de Bézier que representan la letra S.
10.3
COORDENADAS POLARES
O
¨
FIGURA 1
r
eje polar
P(r, ¨ )
x
Un sistema coordenado representa un punto en el plano mediante un par ordenado de números
llamados coordenadas. Por lo general se usan coordenadas cartesianas, que son las
distancias dirigidas desde dos ejes perpendiculares. Aquí se describe un sistema de coordenadas
introducido por Newton, llamado sistema coordenado polar, que es más conveniente
para muchos propósitos.
Se elige un punto en el plano que se llama polo u origen y se identifica con O. Luego
se dibuja un rayo semirrecta que empieza en O llamado eje polar. Este eje se traza por
lo común horizontalmente a la derecha, y corresponde al eje x positivo en coordenadas cartesianas.
Si P es cualquier otro punto en el plano, sea r la distancia de O a P y sea u el ángulo
medido por lo regular en radianes entre el eje polar y la recta OP como en la figura 1 por
lo tanto el punto P se representa mediante otro par ordenado r, u y r, u se llaman coordenadas
polares de P. Se usa la convención de que un ángulo es positivo si se mide en el
sentido contrario a las manecillas del reloj desde el eje polar y negativo si se mide en el sentido
de las manecillas del reloj. Si P O, entonces r 0 y se está de acuerdo en que 0, u
representa el polo para cualquier valor de u.