calculo-de-una-variable-1

756 |||| CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS
30. Suponga que
32. La resistividad de un conductor es el recíproco de la conductividad
y se mide en unidades ohm-metros ( -m). La resistividad
de un metal dado depende de la temperatura de acuerdo
con la ecuación
donde t es la temperatura en °C. Hay tablas que dan los valores
de (llamado coeficiente de temperatura) y (la resistividad
a 20°C) para varios metales. Excepto a temperaturas
muy bajas, la resistividad varía casi en forma lineal con la
temperatura, por lo que es común aproximar la expresión para
t mediante su polinomio de Taylor de primero o segundo
grados en t 20.
(a) Encuentre expresiones para estas aproximaciones lineales
y cuadráticas.
; (b) Por lo que se refiere al cobre, las tablas dan C
y
-m. Dibuje la resistividad del cobre
y las aproximaciones lineales y cuadráticas para 250
C t 1000C.
; (c) ¿Para qué valores de t la aproximación lineal concuerda
con la expresión exponencial de tal manera que no difiera
1% del valor real?
33.
Un dipolo eléctrico consiste en dos cargas eléctricas de igual
magnitud y signos opuestos. Si las cargas son q y q y hay una
distancia d entre ellas, en tal caso el campo eléctrico E en el punto
P en la figura es
Al expandir esta expresión para E como serie en potencias de
dD, demuestre que E es aproximadamente proporcional a
1D 3 cuando P está alejada del dipolo.
P
20 1.7 10 8
f n 4 1)n n!
3 n n 1
y la serie de Taylor de f con centro en 4 converge a f(x) para
toda x en el intervalo de convergencia. Demuestre que el polinomio
de Taylor de quinto grado aproxima f(5) con error menor
a 0.0002.
31. Un vehículo se desplaza a una velocidad de 20 ms y a una
2
aceleración de 2 ms en un instante dado. Mediante un polinomio
de Taylor de segundo grado, estime qué tanto se desplazará
el automóvil en el siguiente segundo. ¿Sería razonable utilizar
este polinomio para estimar la distancia recorrida durante el
minuto siguiente?
t
D
20e
t20
E q D 2 q
D d 2
34. (a) Deduzca la ecuación 3 para la óptica de Gauss a partir de la
ecuación 1 aproximando cos en la ecuación 2 mediante
su polinomio de Taylor de primer grado.
(b) Demuestre que si cos es reemplazado por su polinomio
de Taylor de tercer grado en la ecuación 2, en tal caso la
ecuación 1 se transforma en la ecuación 4 para una óptica
q
20
0.0039
d
_q
de tercer orden. [Sugerencia: utilice los dos primeros
1 1
términos de la serie binomial para o y i . Aplique también
.]
sen
35. Si una onda de agua de longitud L se desplaza con una velocidad
v a través de un cuerpo de agua de profundidad d como en
la figura, por lo tanto
(a) Si el agua es profunda, demuestre que v stL2.
(b) Si el agua es poco profunda, aplique la serie de Maclaurin
para tanh para demostrar que v std. (Así, en agua poco
profunda, la velocidad de una onda tiende a ser independiente
de la longitud de la onda).
(c) Mediante el teorema de estimación de la serie alternante,
demuestre que si L 10d, entonces la estimación v 2 td
es exacta dentro de 0.014tL.
d
36. El periodo de un péndulo con longitud L que subtiende un ángulo
máximo con la vertical es
0
v 2 tL
2
T 4 L y
2
t 0
tanh 2d
L
dx
s1 k 2 sen 2 x
donde k sen( 1 2 0) y t es la aceleración debida a la gravedad.
En el ejercicio 40 de la sección 7.7 se aproximó esta integral
usando la regla de Simpson.
(a) Desarrolle el integrando como una serie binomial y use el resultado
del ejercicio 46 de la sección 7.1 para demostrar que
T 2 L 1 12
t 2 k 2 12 3 2
2 2 2 4 k 4 12 3 2 5
2
2 2 2 4 2 6 k 6 2
Si 0 no es demasiado grande, se usa a menudo la aproximación
T 2sLt, obtenida usando sólo el primer término
de la serie. Se obtiene una mejor aproximación si se
usan sólo dos términos:
T 2 L t (1 1 4 k 2 )
(b) Observe que todos los términos de la serie después del primero
tienen coeficientes que son cuanto mucho 4. Aplique
1
este hecho para comparar esta serie con una serie geométrica
y demuestre que
2 L t (1 1 4 k 2 ) T 2 L 4 3k 2
t 4 4k 2
(c) Mediante las desigualdades del inciso (b), estime el
periodo de un péndulo con L 1 m y 0 10. ¿Cómo es
si se le compara con la estimación T 2sLt ? ¿Cómo
es si 0 42?
L