calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 7.4 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES POR FRACCIONES PARCIALES |||| 473
35. Demuestre la fórmula A 1 2 r 2 para el área de un sector
de un círculo con radio r y ángulo central . [Sugerencia:
suponga que 0 y coloque el centro del círculo en el
origen de modo que tenga la ecuación x 2 y 2 r 2 . Después A
es la suma del área del triángulo POQ y el área de la región
PQR en la figura.]
2
y
P
39. (a) Aplique la sustitución trigonométrica para comprobar que
y x
0 s a 2 t 2 dt 1 2 a2 sen 1 xa 1 2x sa 2 x 2
(b) Aplique la figura para proporcionar interpretaciones
trigonométricas de ambos términos en el lado derecho de la
ecuación del inciso (a).
; 36. Evalúe la integral
Grafique el integrando y su integral indefinida en la misma
pantalla y compruebe que su respuesta es razonable.
; 37. Use una gráfica para aproximar las raíces de la ecuación
x 2 s4 x 2 2 x. Luego aproxime el área acotada por la
curva y x 2 s4 x 2 y la recta y 2 x.
38. Una varilla con carga de longitud L produce un campo eléctrico
en el punto Pa, b dado por
O
EP y La
donde es la densidad de carga por longitud unitaria en la
varilla y 0 es la permisividad del espacio libre (véase la
figura). Evalúe la integral para determinar una expresión para
el campo eléctrico EP.
y
¨
y
a
dx
x 4 sx 2 2
b
4 0x 2 b 2 32
dx
P (a, b)
0 L x
Q
R
x
y
a
¨
0
y=œ„„„„„ a@-t@
40. La parábola y 1 2x 2 divide en disco x 2 y 2 8 en dos partes.
Hallar el área de ambas partes.
41. Determine el área de la región sombreada creciente (llamada
luna) acotada por los arcos de círculos con radios r y R. (Véase
la figura.)
42. Un tanque de almacenamiento de agua tiene la forma de un
cilindro circular con diámetro de 10 ft. Se monta de modo que
las secciones transversales circulares sean verticales. Si la profundidad
del agua es 7 ft, ¿qué porcentaje de la capacidad total
se está utilizando?
43. Se genera un toroide al hacer girar el círculo x 2 y R 2 r 2
respecto al eje x. Encuentre el volumen encerrado por el toroide.
¨
x
r
R
t
7.4
INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES POR FRACCIONES PARCIALES
En esta sección se muestra cómo integrar cualquier función racional (una relación de polinomios)
expresándola como una suma de fracciones más simples, llamadas fracciones
parciales, que ya sabe cómo integrar. Para ilustrar el método, observe que tomando las
fracciones 2x 1 y 1x 2 para un denominador común, se obtiene
2
x 1 1 2x 2 x 1
x 5
x 2 x 1x 2 x 2 x 2