calculo-de-una-variable-1

688 |||| CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS
n
Suma de los primeros
n términos
1 0.50000000
2 0.75000000
3 0.87500000
4 0.93750000
5 0.96875000
6 0.98437500
7 0.99218750
10 0.99902344
15 0.99996948
20 0.99999905
25 0.99999997
1
3
7
15
31
obtiene 2 , 4 , 8 , 16, 32, 64,...,1 12 n ,.... En la tabla se puede ver que cuando suma más
y más términos, estas sumas parciales se vuelven más y más cercanas a 1. (Véase también
la figura 11 en Presentación preliminar del cálculo en la página 7). De hecho, al sumar
suficientes términos de la serie es posible hacer que las sumas parciales sean tan cercanas
a 1 como se quiera. Por eso es razonable decir que la suma de esta serie infinita es igual a
1 y escribir
n1
63
1
2 1 n 2 1 4 1 8 1
16 1 2 1
n
Se aplica una idea similar para determinar si una serie general (1) tiene o no tiene una
suma. Considere las sumas parciales
s 1 a 1
s 2 a 1 a 2
s 3 a 1 a 2 a 3
s 4 a 1 a 2 a 3 a 4
y, en general,
s n a 1 a 2 a 3 a n n
a i
i1
Estas sumas parciales forman una nueva sucesión s n , la cual puede tener o no tener un límite.
Si existe lím nl s n s (como un número finito), después, como en el ejemplo anterior,
se llama suma de la serie infinita a n .
2 DEFINICIÓN Dada una serie n1 a n a 1 a 2 a 3 , denote con s n la
n-ésima suma parcial:
s n n
i1
a i a 1 a 2 a n
Si la sucesión s n es convergente y lím nl s n s existe como un número real, entonces
la serie a n se dice convergente y se escribe
a 1 a 2 a n s
o
a n s
n1
El número s se llama suma de la serie. Si no es así, la serie se dice divergente.
&
Compare con la integral impropia
y
f x dx lím
1
t l
y t
1
f x dx
Para determinar esta integral integre desde 1
hasta t y hacemos que t l . En el caso de
series, sume desde 1 hasta n y hacemos que
n l .
Así, la suma de una serie es el límite de la sucesión de sumas parciales. Cuando escribe
n1 a n s quiere decir que al sumar suficientes términos de la serie puede llegar tan
cerca como quiera al número s. Observe que
a n lím
n1 n l
n
a i
i1
EJEMPLO 1 Un ejemplo importante de una serie infinita es la serie geométrica
a ar ar 2 ar 3 ar n1
ar n1
n1
a 0