calculo-de-una-variable-1

378 |||| CAPÍTULO 5 INTEGRALES
35–40 Evalúe cada integral interpretándola en términos de áreas.
35. y 3
( 1 36. y 2 s4 x 2 x 1 dx
2 dx
2
0
54.
s2
24
y
4
6
cos xdx s3
24
37.
y 0 3
(1 s9 x 2 ) dx
y 2 1
x dx
38.
39. 40.
y
π
41. Valorar sen 2 x cos 4 xdx.
π
y 3 1
3 2x dx
y 10
0
x 5 dx
55–60 Aplique la propiedad 8 para estimar el valor de la integral.
y 4
55. sx dx
56. y 2
1 0
3
57. y tan xdx 58.
4
y 2
0
59. xe x dx
60.
y 2
x 3 3x 3 dx
0
y 2
1
1 x 2 dx
x 2 sen x dx
42. Dado que , ¿cuánto es
0 3xsx2 4 dx 5s5 8
3usu 2 4 du ?
y 0
1
43. En el ejemplo 2 de la sección 5.1, demostró que x 1 x 2 dx 1 .
0 3
Aplique este hecho y las propiedades de las integrales para
evaluar x 1 5 6x 2 dx.
0
44. Aplique las propiedades de las integrales y el resultado del
ejemplo 3 para evaluar x 3 2e x 1 dx.
1
45. Utilice el resultado del ejemplo 3 para evaluar e x2 dx.
1
46. A partir de los resultados del ejercicio 27 y del hecho de que
x2
cos xdx 1 (según el ejercicio 25 de la sección 5.1), junto
0
con las propiedades de las integrales, evalúe
2 cos x 5x dx.
0
Escriba como una sola integral en la forma f x dx:
47.
x2
48. Si y , encuentre x x5 f x dx 12 x5 f x dx 3.6
4 f x dx.
1 4 1 49. Si y x x9 f x dx 37
9 tx dx 16, encuentre
0 0
x 9 2 f x 3tx dx .
0
50. Halle f x dx si
f x 3 para x 3
x para x 3
51. Considere que f tiene el valor mínimo absoluto m y el valor
máximo absoluto M. ¿Entre que valores se encuentra f x dx?
¿Qué propiedad de las integrales le permite elaborar su
conclusión?
52–54 Aplique las propiedades de las integrales para verificar la
desigualdad sin evaluar las integrales.
52.
53.
y 1
x 5 0
y 1
y 2 2
f x dx y 5
f x dx y 1
f x dx
0 s1 x2 dx y 1 0 s1 x dx x 2 0
2 y 1 1 s1 x 2 dx 2s2
2
2
x b a
x 3
61–62 Mediante las propiedades de las integrales, junto con los
ejercicios 27 y 28, demuestre la desigualdad.
y 3
61. sx 4 1 dx 26 62.
1 3
63. Demuestre la propiedad 3 de las integrales.
64. Demuestre la propiedad 6 de las integrales.
65. Si f es continua en a, b, demuestre que
[Sugerencia: .]
66. Utilice el resultado del ejercicio 65 para demostrar que
67. Sea f x 0 si x es cualquier número racional y f x 1 si
x es cualquier número irracional. Demuestre que f no es integrable
en [0, 1].
68. Sea f 0 0 y f x 1 si 0 x 1 . Demuestre que f no
es integrable en [0, 1]. [Sugerencia: demuestre que el primer
término en la suma de Riemann, f( x*
i ) Δx puede hacerse de
manera arbitraria muy grande.]
69–70 Exprese el límite como una integral definida.
i 4
y2
f x sen
0
2xdx y 2
f x dx
0
69. lím [Sugerencia: considere f x x 4 .]
n l n
i1 n 5
1 1
70. lím
n l n n
i1 1 in 2
x 2
yb f x
a
dx y b
f x dx
a
f x f x f x
71. Determine x 2 dx. Sugerencia: elija x*
como la media geométrica
de x i1 y x i (es decir, x* i sx i1x i ) y use la identidad
1 i
1
mm 1 1 m 1
m 1
y
0
2
x sen xdx
2
8