calculo-de-una-variable-1

664 |||| CAPÍTULO 10 ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARES
Al resolver r de la ecuación 2 para r, se ve que la ecuación polar de la cónica mostrada
en la figura 1 se puede escribir como
r
ed
1 e cos
Si se elige que la directriz esté a la izquierda del foco como x d, o si se elige la directriz
paralela al eje polar como y d, entonces la ecuación polar de la cónica está
dada por el siguiente teorema, que se ilustra mediante la figura 2. Véase los ejercicios
21–23.)
y
x=d
directriz
x=_ d
directriz
y
y=d
y
directriz
y
F
x
F
x
F
x
F
x
y=_d
directriz
(a) r=
ed
1+e cos ¨
(b) r=
ed
1-e cos ¨
(c) r=
ed
1+e sen ¨
(d) r=
ed
1-e sen ¨
FI GURA 2
Ecuaciones polares de cónicas
6
TEOREMA
Una ecuación polar de la forma
r
ed
1 e cos
o bien
r
ed
1 e sen
representa una sección cónica con excentricidad e. La cónica es una elipse si e 1,
una parábola si e 1, o una hipérbola si e 1.
V EJEMPLO 1 Encuentre la ecuación polar para una parábola que tiene su foco en el origen
y cuya directriz es la línea y 6.
SOLUCIÓN Al usar el teorema 6 con e 1 y d 6, y emplear el inciso d de la figura 2,
se ve que la ecuación de la parábola es
r
6
1 sen
V
EJEMPLO 2 Una cónica está dada por la ecuación polar
r
Encuentre la excentricidad, identifique la cónica, localice la directriz y bosqueje la cónica.
SOLUCIÓN Al dividir numerador y denominador entre 3, se escribe la ecuación como
r
10
3 2 cos
10
3
1 2 3 cos