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154 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS 2.8 LA DERIVADA COMO UNA FUNCIÓN En la sección anterior consideró la derivada de una función f en un número fijo a: 1 f a lím h l 0 f a h f a h Ahora cambie su punto de vista y haga que el número a varíe. Si en la ecuación 1 reemplaza a con una variable x, obtiene 2 f x lím h l 0 f x h f x h Dado cualquier número x para el cual este límite exista, asigne a x el número fx. De modo que considere f como una nueva función, llamada derivada de f y definida por medio de la ecuación 2. Sabe que el valor de f en x, fx, se puede interpretar geométricamente como la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto x, fx. La función f se conoce como derivada de f, porque se ha “derivado” de f por medio de la operación de hallar el límite en la ecuación 2. El dominio de f es el conjunto x fx existe y puede ser menor que el dominio de f. V EJEMPLO 1 En la figura 1 se muestra la gráfica de una función f. Úsela para dibujar la derivada f. y y=ƒ 1 FIGURA 1 0 1 x SOLUCIÓN Puede estimar el valor de la derivada, en cualquier valor de x, trazando la tangente en el punto x, fx y estimando su pendiente. Por ejemplo, para x 5, trace la tangente en P de la figura 2(a) y estime su pendiente como alrededor 3 de 2, por tanto, f5 1.5. Esto permite situar el punto P5, 1.5 en la gráfica de f directamente debajo de P. Si repite este procedimiento en varios puntos, obtiene la gráfica que se muestra en la figura 2(b). Advierta que las tangentes en A, B y C son horizontales, de modo que la derivada es 0 allí y la gráfica de f cruza el eje x en los puntos A, B y C, directamente debajo de A, B y C. Entre A y B, las tangentes tienen pendiente positiva, por lo que f x es positiva allí. Pero entre B y C, las tangentes tienen pendientes negativas, de modo que f x es negativa allí.
SECCIÓN 2.8 LA DERIVADA COMO UNA FUNCIÓN |||| 155 y B 1 m=0 A m=0 y=ƒ P 3 mÅ 2 0 1 m=0 5 x TEC Visual 2.8 muestra una animación de la figura 2 para diferentes funciones. (a) C y 1 y=fª(x) Pª(5, 1.5) 0 Aª Bª Cª 1 5 x FI GURA 2 (b) V EJEMPLO 2 (a) Si f x x 3 x, encuentre una fórmula para fx. (b) Ilústrela comparando las gráficas de f y f. SOLUCIÓN (a) Cuando se usa la ecuación 2 para calcular una derivada, hay que recordar que la variable es h y que x se considera temporalmente como una constante, durante el cálculo del límite. f x lím h l 0 f x h f x h lím h l 0 x h 3 x h x 3 x h lím h l 0 x 3 3x 2 h 3xh 2 h 3 x h x 3 x h lím h l 0 3x 2 h 3xh 2 h 3 h h lím h l 0 3x 2 3xh h 2 1 3x 2 1
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