calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 11.10 SERIES DE TAYLOR Y DE MACLAURIN |||| 747
44. Utilice la serie de Maclaurin para sen x a fin de calcular
con cinco posiciones decimales.
sen 3
61. y
x
62.
sen x
y e x ln1 x
45. (a) Use la serie binomial para expandir 1s1 x 2
(b) Use la parte (a) para hallar la serie de Maclaurin para
sen 1 x.
46. (a) Expanda 1s1 4 x como una serie de potencias.
1
(b) Use el inciso (a) para estimar correctamente 4 con tres
s1.1
posiciones decimales.
47–50 Evalúe la integral indefinida como una serie infinita.
47. y x cosx 3 dx
48.
51–54 Utilice series para obtener un valor aproximado de la integral
definida con la exactitud indicada.
y 1
0
51. x cosx 3 dx (tres decimales);
y e x 1
x
49. y cos x 1 dx
50. y arctan(x 2 ) dx
x
dx
63–68 Calcule la suma de la serie.
63.
64.
65. 1 n 2n1
66.
n0 4 2n1 2n 1!
67. 3 9 2! 27
3! 81
4!
68.
1 x 4n
n
n0 n!
1 ln 2
ln 22
2!
ln 23
3!
1 n 2n
n0 6 2n 2n!
69. Demuestre la desigualdad de Taylor para , es decir, demuestre
que si para , en tal caso
n0
3 n
5 n n!
n 2
f x M x a d
y 0.2
0
52. tan 1 x 3 senx 3 dx (cinco decimales)
R2x M 6 x a 3
para x a d
53.
54.
y 0.4
s1 x 4 dx
0
y 0.5
x 2 e x 2 dx
0
55–57 Mediante las series evalúe el límite.
x tan 1 x
55. lím
56.
x l0
sen x x 1 6 x 3
57. lím
x l 0 x 5
58. Utilice la serie del ejemplo 12(b) para evaluar
Este límite se calculó en el ejemplo 4 de la sección 4.4 utilizando
la regla de l’Hospital tres veces. ¿Cuál método prefiere?
59–62 Utilice la multiplicación o la división de series de potencias
para determinar los primeros tres términos diferentes de cero en la
serie de Maclaurin para cada función.
59. y e x 2 cos x
( error 5 10 6 )
x 3 ( error 0.001)
tan x x
lím
x l 0 x 3
lím
x l0
60. y sec x
1 cos x
1 x e x
70. (a) Demuestre que la función definida por
f x 2
e1x 0
no es igual a la serie de Maclaurin.
; (b) Dibuje la función del inciso (a) y comente su comportamiento
cerca del origen.
71. Use los pasos siguientes para demostrar (17).
(a) Sea gx n0n kxn
. Derive esta serie para demostrar que
gx kgx
1 x
(b) Sea h(x) (1 x) k g(x) y demuestre que h(x) 0.
(c) Deduzca que g(x) (1 x) k .
si x 0
si x 0
1 x 1
72. En el ejercicio 53 de la sección 10.2 se demostró que la longitud
de la elipse x a sen , y b cos , donde a b 0, es
2
L 4a y s1 e 2 sen 2 d
0
donde e sa 2 b 2 a es la excentricidad de la elipse.
Expanda el integrando como serie binomial y use el resultado
del ejercicio 46 de la sección 7.1 para expresar L como una serie
en potencias de la excentricidad hasta el término en e 6 .