calculo-de-una-variable-1

280 |||| CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVACIÓN
al
observador
del
Sol
Formación del arcoíris secundario
amarillo, verde, azul, índigo y violeta. Como Newton descubrió en sus experimento del
prisma de 1666, el índice de refracción es diferente para cada color. (El efecto se llama
dispersión.) Para la luz roja, el índice de refracción es k 1.3318 en tanto que para la luz
violeta es k 1.3435. Al repetir el cálculo del problema 1 para estos valores de k, se demuestra
que el ángulo del arcoíris es alrededor de 42.3 para el arco rojo y de 40.6 para el arco
violeta. Así pues, el arcoíris en realidad consta de siete arcos separados que corresponden a
los siete colores.
3. Quizá haya visto un arcoíris secundario más tenue, arriba del arco primario. Se produce por la
parte de un rayo que entra en una gota de lluvia y se refracta en A, se refleja dos veces (en B y
C ) y se refracta al salir de la gota en D (véase la figura que aparece a la izquierda). En esta
ocasión, el ángulo de desviación D es la magnitud total de la rotación en sentido contrario
al movimiento de las manecillas del reloj que describe el rayo en este proceso de cuatro etapas.
Demuestre que
y D tiene un valor mínimo cuando
D 2 6 2
cos k 2 1
8
Si se toma k 4 3 , demuestre que la desviación mínima es alrededor de 129 y, por lo tanto, el
ángulo del arcoíris secundario es de más o menos 51, como se muestra en la figura siguiente.
© C. Donald Ahrens
42° 51°
4. Demuestre que los colores del arcoíris secundario aparecen en orden opuesto al del primario.
4.2
TEOREMA DEL VALOR MEDIO
Verá que muchos de los resultados de este capítulo dependen de un hecho principal, que
es el llamado teorema del valor medio. Pero para llegar a este teorema es necesario primero
el siguiente resultado.
& El matemático francés Michel Rolle (1652-1719)
publicó por primera vez el teorema de Rolle en un
libro titulado Méthode pour résoudre les égalitéz
en 1691. Sin embargo, tiempo después, se volvió
un fuerte crítico de los métodos de su época y
atacó al cálculo calificándolo de “una colección de
ingeniosas falacias”.
TEOREMA DE ROLLE Sea f una función que satisface las siguientes tres hipótesis:
1. f es continua en el intervalo cerrado a, b.
2. f es derivable en el intervalo abierto a, b.
3. f a f b
Entonces hay un número c en a, b tal que f c 0.