calculo-de-una-variable-1

m
posición de
equilibrio
0
x
m
donde k es una constante positiva (llamada constante del resorte). Si se ignoran las fuerzas
de resistencia externas (debidas a la resistencia del aire o la fricción) entonces, por la
segunda ley de Newton (fuerza es igual a masa por aceleración), se tiene
3 kx
SECCIÓN 9.1 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES |||| 569
m d 2 x
dt 2
Éste es un ejemplo de lo que se llama una ecuación diferencial de segundo orden porque
tiene que ver con segundas derivadas. Se verá lo que se puede conjeturar acerca de la forma
de la solución directamente de la ecuación. Se puede rescribir la ecuación 3 en la forma
FIGURA 4
x
d 2 x
dt 2
k m x
que dice que la segunda derivada de x es proporcional a x pero tiene signo opuesto. Se conocen
dos funciones con esta propiedad, las funciones seno y coseno. De hecho, resulta
que todas las soluciones de la ecuación 3 se pueden escribir como combinaciones de ciertas
funciones seno y coseno (véase el ejercicio 4). Esto no es sorprendente; se espera que el resorte
oscile respecto a su posición de equilibrio y, por lo tanto, es natural pensar que están
involucradas las funciones trigonométricas.
ECUACIONES DIFERENCIALES GENERALES
En general, una ecuación diferencial es una ecuación que contiene una función desconocida
y una o más de sus derivadas. El orden de la ecuación diferencial en el orden de la
mayor de las derivadas que ocurren en la ecuación. Así, las ecuaciones 1 y 2 son de primer
orden, y la ecuación 3 es de segundo. En las tres ecuaciones, la variable independiente se
llama t y representa el tiempo, pero en general la variable independiente no tiene que representar
tiempo. Por ejemplo, cuando se considera la ecuación diferencial
4
y xy
se entiende que y es una función desconocida de x.
Una función f se llama solución de una ecuación diferencial si la ecuación se satisface
cuando y f x y sus derivadas se sustituyen en la ecuación. Así, f es una solución de la
ecuación 4 si
para todos los valores de x en algún intervalo.
Cuando se pide resolver una ecuación diferencial, se espera hallar las posibles soluciones de
la ecuación. Ya se han resuelto algunas ecuaciones diferenciales particularmente simples, a saber,
aquellas de la forma
Por ejemplo, se sabe que la solución general de la ecuación diferencial
está dada por
f x xfx
y f x
y x 3
y x 4
4 C
donde C es una constante arbitraria.
Pero, en general, resolver una ecuación diferencial no es un asunto fácil. No hay técnica
sistemática que permita resolver todas las ecuaciones diferenciales. Sin embargo, en la
sección 9.2 se verá cómo dibujar gráficas aproximadas de soluciones aun cuando no se tiene
fórmula explícita. También se aprenderá cómo hallar aproximaciones numéricas a soluciones.