calculo-de-una-variable-1

176 |||| CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN
V EJEMPLO 3 Halle la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la curva y xsx
en el punto (1, 1). Ilustre dibujando la curva y estas rectas.
SOLUCIÓN La derivada de
f x xsx xx 12 x 32 es
3
tangente
f x 3 2 x 321 3 2 x 12 3 2 sx
De este modo, la pendiente de la recta tangente en (1, 1) es f 1 3 2. Por consiguiente la
ecuación de la recta tangente es
normal
y 1 3 2x 1
o bien
y 3 2 x 1 2
_1 3
_1
FI GURA 4
& INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA REGLA
DEL MÚLTIPLO CONSTANTE
y
y=2ƒ
La línea normal es perpendicular a la línea tangente de tal manera que, su pendiente es el
3
reciproco negativo de , es decir, . En estos términos una ecuación de la línea normal es
2
2 3
y 1 2 3x 1
o bien
y 2 3 x 2 3
En la figura 4 se traza la gráfica de la curva y las rectas tangente y normal.
NUEVAS DERIVADAS A PARTIR DE ANTERIORES
Cuando se forman nuevas funciones a partir de funciones anteriores por adición, sustracción
o multiplicación por una constante, sus derivadas se pueden calcular en términos de la
derivada de sus funciones anteriores. En particular, en la fórmula siguiente se afirma que
la derivada de una constante multiplicada por una función es la constante multiplicada
por la derivada de la función.
REGLA DEL MÚLTIPLO CONSTANTE Si c es una constante y f es una función derivable,
entonces
d
dx cfx c d dx f x
y=ƒ
COMPROBACIÓN
Sea t(x) cf(x). Después
0
La multiplicación por c 2 estira la gráfica
verticalmente en un factor de 2. Todas las
elevaciones se han duplicado, pero los avances
permanecen iguales. Las pendientes también
se duplican.
x
tx h tx cfx h cfx
tx lím
lím
h l 0 h
h l 0 h
lím
h l 0
c
c lím
h l 0
cfx
f x h f x
h
f x h f x
h
(por la ley de los límites 3)
EJEMPLO 4
(a)
(b)
d
dx 3x 4 3 d dx x 4 34x 3 12x 3
d
dx x d dx 1x 1 d x 11 1
dx
La siguiente regla dice que la derivada de una suma de funciones es la suma de las
derivadas.