calculo-de-una-variable-1

570 |||| CAPÍTULO 9 ECUACIONES DIFERENCIALES
V EJEMPLO 1 Muestre que cualquier integrante de la familia de funciones
y 1 ce t
1 ce t
es una solución de la ecuación diferencial y 1 2y 2 1.
SOLUCIÓN Se usa la regla del cociente para derivar la expresión para y:
y 1 ce t ce t 1 ce t ce t
1 ce t 2
ce t c 2 e 2t ce t c 2 e 2t
1 ce t 2
2ce t
1 ce t 2
& En la figura 5 se muestran las gráficas de siete
integrantes de la familia del ejemplo 1. La ecuación
diferencial muestra que si y 1, por lo tanto
y 0. Esto se confirma por lo alisado de las
gráficas cerca de y 1 y y 1.
5
_5 5
El lado derecho de la ecuación diferencial se convierte en
1
2 y 2 1 1 1 ce t
2
1 2
t
2
1 1 1 ce t 2 1 ce t 2
1 ce 2 1 ce t 2
4ce t
1 ce t 2
2ce t
1 ce t 2
Por lo tanto, para todo valor de c, la función dada es una solución de la ecuación
diferencial.
FIGURA 5
_5
Al aplicar ecuaciones diferenciales, normalmente no se está tan interesado en hallar una
familia de soluciones (la solución general) como en determinar una solución que satisfaga
algún requerimiento adicional. En muchos problemas físicos se requiere hallar la solución
particular que satisface una condición de la forma yt 0 y 0 . Ésta se llama condición
inicial, y el problema de hallar una solución de la ecuación diferencial que satisface la
condición inicial se llama problema con valores iniciales.
Desde el punto de vista geométrico, cuando se impone una condición inicial, se considera
la familia de curvas solución y se elige una que pasa por el punto t 0 , y 0 . Físicamente
esto corresponde a medir el estado de un sistema en el tiempo t 0 y usar la solución del problema
de valor inicial para predecir el comportamiento futuro del sistema.
V EJEMPLO 2 Hallar una solución de la ecuación diferencial y 1 2y 2 1 que satisface
la condición inicial y0 2.
SOLUCIÓN Al sustituir los valores t 0 y y 2 en la fórmula
del ejemplo 1, se obtiene
y 1 ce t
1 ce t
2 1 ce 0
1 ce 1 c
0 1 c
Si esta ecuación se resuelve para c, se obtiene 2 2c 1 c, que da c 1 3. Por lo tanto,
la solución del problema con valores iniciales es
y 1 1 3e t
1 1 3 e t
3e t 3 e t