calculo-de-una-variable-1

52 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS
(b) Trace la gráfica de la función y sen (x 2 ) usando el
rectángulo de visualización 5, 5 por 1.5, 1.5. ¿Qué
diferencia existe entre esta gráfica y la de la función seno?
35. La figura muestra las gráficas de y sen 96x y y sen 2x según
la exhibe una calculadora graficadora TI-83.
36. La primera gráfica que aparece en la figura es la de y sen
45x según la exhibe una calculadora graficadora TI-83. Es
inexacta y por eso, para ayudar a explicar su aspecto en la
segunda gráfica se traza la curva de nuevo en la modalidad de
puntos.
0 2π
0 2π
0 2π 0 2π
y=sen 96x
y=sen 2x
La primera gráfica es inexacta. Explique por qué las dos gráficas
parecen ser idénticas. Sugerencia: La ventana de graficación
de la TI-83 tiene 95 pixeles de ancho. ¿Qué puntos específicos
dibuja la calculadora?
¿Qué dos curvas seno parece estar graficando la calculadora?
Demuestre que cada punto sobre la gráfica de y sen 45x que
la TI-83 decide dibujar se encuentra de hecho sobre una de estas
dos curvas. (La ventana de graficación de la TI-83 tiene 95
pixeles de ancho.)
1.5
& En el apéndice G aparece un planteamiento
alterno para las funciones exponencial y
logarítmica empleando cálculo integral.
FUNCIONES EXPONENCIALES
La función f(x) 2 x se denomina función exponencial porque la variable, x, es el exponente.
No debe confundirse con la función potencia t(x) x 2 en la cual la variable es la
base.
En general, una función exponencial es una función de la forma
f x a x
donde a es una constante positiva. Cabe recordar qué significa esto.
Si x n, un entero positivo, entonces
a n a a a
n factores
Si x 0, en tal caso a 0 1, y si x n, donde n es un entero positivo, entonces
a n 1 a n
y
1
0
1
FIGURA 1
Representación de x racional y=2®
x
Si x es un número racional, x pq , donde p y q son enteros positivos y q 0, entonces
a x a pq sa q p ( sa) q p
Pero ¿cuál es el significado de a x si x es un número irracional? ¿Qué quiere decir, por
ejemplo, 2 s3 o ?
Para ayudar a responder esta pregunta primero se ve la gráfica de la función y 2 x ,
donde x es racional. La figura 1 ilustra una representación de esta gráfica. Cabe ampliar
el dominio de y 2 x para incluir números tanto racionales como irracionales.
En la gráfica de la figura 1 hay huecos que corresponden a valores irracionales de x.
Cabe llenar los huecos definiendo f(x) 2 x donde x , de modo que f es una función
que se incrementa. En particular, debido a que el número irracional s3 satisface
5
1.7 s3 1.8