calculo-de-una-variable-1

192 |||| CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN
3
lím
l 0
cos 1
0
Si ahora pone los límites (2) y (3) en (1), obtiene
cos h 1
sen h
f x lím sen x lím lím cos x lím
h l 0 h l 0 h
h l 0 h l 0 h
Así ha probado la fórmula para la derivada de la función seno:
d
sen x cos x
dx
4
sen x 0 cos x 1 cos x
& La figura 3 muestra las gráficas de la
función del ejemplo 1 y su derivada. Advierta
que y 0 siempre que y tenga una tangente
horizontal.
_4 4
FIGURA 3
5
_5
yª
y
V EJEMPLO 1 Derive y x 2 sen x.
SOLUCIÓN Con la regla del producto y la fórmula 4, tiene
dy
dx x 2 d dx sen x sen x d dx x 2
Si se aplican los mismos métodos que en la demostración de la fórmula 4, se puede probar
(véase el ejercicio 20) que
d
cos x sen x
dx
5
x 2 cos x 2x sen x
También se puede derivar la función tangente aplicando la definición de derivada, pero
es más fácil usar la regla del cociente con las fórmulas 4 y 5:
d
dx tan x d sen x
dx cos x
cos x d dx sen x sen x d dx
cos 2 x
cos x
cos x cos x sen x sen x
cos 2 x
cos2 x sen 2 x
cos 2 x
1
cos 2 x sec2 x