calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 3.4 LA REGLA DE LA CADENA |||| 201
& En la figura 1 se muestran las gráficas
de las funciones y y ydel ejemplo 6.
Advierta que y es grande cuando y crece con
rapidez, y y 0 cuando y tiene una tangente
horizontal. De modo que la respuesta parece ser
razonable.
yª
10
_2 1
EJEMPLO 6 Derive y 2x 1 5 x 3 x 1 4 .
SOLUCIÓN En este ejemplo debe aplicar la regla del producto antes de aplicar la regla de
la cadena:
dy
dx 2x d 15 dx x 3 x 1 4 x 3 x 1 d 4 2x 15
dx
2x 1 5 4x 3 x 1 3 d dx x 3 x 1
y
x 3 x 1 4 52x 1 4 d dx
2x 1
FIGURA 1
_10
42x 1 5 x 3 x 1 3 3x 2 1 5x 3 x 1 4 2x 1 4 2
Al observar que cada término tiene el factor común 22x 1 4 x 3 x 1 3 ,
podría factorizarlo y escribir la respuesta como
dy
dx 22x 14 x 3 x 1 3 17x 3 6x 2 9x 3
EJEMPLO 7 Derive y e sen x .
SOLUCIÓN En este caso, la función interior es t(x) sen x y la exterior es la función exponencial
f(x) e x . Por lo tanto, por la regla de la cadena,
&
La regla de la cadena en su forma más general
d
dx eu e du u dx
dy
dx d dx e sen x e sen x d dx sen x e sen x cos x
Puede aplicar la regla de la cadena para derivar una función exponencial con cualquier
base a 0. Recuerde, por lo visto en la sección 1.6, que a e ln a . De este modo,
a x e ln a x ln ax
e
y la regla de la cadena da
d
dx a x d dx e ln ax e d ln ax ln ax
dx
e ln ax ln a a x ln a
porque ln a es una constante. De este modo, tiene la fórmula
& No confunda la fórmula 5 (donde x es el
exponente) con la regla de la potencia (donde
x es la base):
d
dx x n nx n1
5
d
dx a x a x ln a
En particular, si a 2, obtiene
6
d
dx 2x 2 x ln 2