calculo-de-una-variable-1

A8 |||| APÉNDICE A NÚMEROS, DESIGUALDADES Y VALORES ABSOLUTOS
x 5 2
EJEMPLO 7 Resuelva .
SOLUCIÓN 1 Por la propiedad 5 de (6),
x 5 2
2 x 5 2
Por lo tanto, sumando 5 a cada lado,
3 x 7
es equivalente a
2 2
3 5 7
FIGURA 9
y el conjunto de solución es el intervalo abierto 3, 7.
SOLUCIÓN 2 Geométricamente, el conjunto de solución está formado por todos los números
x cuya distancia desde 5 sea menor que 2. De la figura 9 se ve que éste es el
intervalo 3, 7.
3x 2 4
EJEMPLO 8 Resuelva .
SOLUCIÓN Por las propiedades 4 y 6 de (6),
3x 2 4
3x 2 4
o 3x 2 4
es equivalente a
En el primer caso 3x 2, que da x 2 3. En el segundo caso 3x 6, que da x 2 y
el conjunto de solución es
{x x 2ox 2 3} , 2 [ 2 3, )
Otra importante propiedad del valor absoluto, llamada la desigualdad del triángulo, se
usa con frecuencia no sólo en cálculo sino en todas las matemáticas en general.
7 LA DESIGUALDAD DEL TRIÁNGULO
entonces
Si a y b son cualesquier números reales,
a b a b
Observe que si los números a y b son ambos positivos o ambos negativos, entonces
los dos lados de la desigualdad del triángulo son iguales en realidad. Pero si a y b tienen
signos contrarios, el lado izquierdo comprende una resta pero no así el lado derecho.
Esto hace que la desigualdad del triángulo parezca razonable, pero se demuestra como
sigue.
Note que
es siempre verdadera porque a es igual a o a . El enunciado correspondiente para
b es
Al sumar estas desigualdades se obtiene
Si ahora aplica las propiedades 4 y 5 (con x sustituida por a b y a por ,
obtiene
que es lo que desea demostrar.
a a a
a
a
b b b
( a b ) a b a b
a b a b
a b