calculo-de-una-variable-1

540 |||| CAPÍTULO 8 MÁS APLICACIONES DE LA INTEGRACIÓN
donde t es la aceleración debida a la gravedad. La presión P sobre la placa se define como
la fuerza por unidad de área:
P F A td
& Al usar unidades inglesas, se escribe
P td d, donde t es el peso
específico o bien gravedad específica (en oposición
a r, que es la densidad en masa). Por ejemplo, el
peso específico del agua es .
62.5 lbft 3
La unidad SI para medir la presión es newtons por metro cuadrado, que se llama pascal
(abreviatura: 1 Nm
2 1 Pa). Puesto que ésta es una unidad pequeña, se emplea con
frecuencia el kilopascal (kPa). Por ejemplo, debido a que la densidad del agua es
kgm 3 , la presión en el fondo de una alberca de 2 m de profundidad es
1 000
Un principio importante de la presión del fluido es el hecho comprobado en forma
experimental de que en cualquier punto en un líquido, la presión es la misma en todas
direcciones. (Un buzo siente la misma presión en la nariz y en ambos oídos.) Así, la
presión en cualquier dirección a una profundidad d en un fluido con densidad de masa
está dada por
P td 1 000 kgm 3 9.8 ms 2 2 m
19 600 Pa 19.6 kPa
1
P td d
Esto ayuda a determinar la fuerza hidrostática contra una placa o pared vertical en un fluido.
Éste no es un problema directo porque la presión no es constante, sino que crece a
medida que aumenta la profundidad.
50 m
20 m
V EJEMPLO 1 Una presa tiene la forma del trapecio mostrado en la figura 2. La altura es
20 m y el ancho es 50 m en la parte superior y 30 m en el fondo. Determine la fuerza sobre
la presa debida a la presión hidrostática si el nivel del agua es 4 m desde la parte superior
de la presa.
FIGURA 2
30 m
SOLUCIÓN Se elige un eje x vertical con origen en la superficie del agua como en la figura 3(a).
La profundidad del agua es 16 m, así que se divide el intervalo [0, 16] en subintervalos de
igual longitud con puntos extremos x i y se elige x i * x i1 , x i . La i-ésima tira horizontal
de la presa se aproxima mediante un rectángulo con altura x y amplitud w i , donde, de
los triángulos similares de la figura 3(b),
Îx
_4 15
0
x
(a)
10
15
10
y, por lo tanto,
Si
a
16 x i * 10
20
o bien
A i
w i 215 a 2(15 8 1 2 x i *) 46 x i *
es el área de la i-ésima tira, entonces
a 16 x i*
2
A i w i x 46 x i * x
8 x i*
2
Si x es pequeña, entonces la presión P i en la i-ésima tira es casi constante y se puede
usar la ecuación 1 para escribir
a
20
16-x i
*
(b)
FIGURA 3
P i 1 000tx i *
La fuerza hidrostática F i que actúa sobre la i-ésima tira es el producto de la presión y
el área:
F i P i A i 1 000tx i *46 x i * x