calculo-de-una-variable-1

214 |||| CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN
utilice esa capacidad. Si no es así, puede dibujar esta curva
trazando sus mitades superior e inferior por separado.)
32. (a) La curva con ecuación y 2 x 3 3x 2 se llama cúbica de
Tschirnhausen. Encuentre una ecuación de la recta tangente
a esta curva, en el punto (1, 2).
(b) ¿En cuáles puntos esta curva tiene una tangente
horizontal?
; (c) Ilustre los incisos (a) y (b) dibujando la curva y las rectas
tangentes en una pantalla común.
CAS
33–36 Hallar por derivación implicita
33. 9x 2 y 2 9
34.
sx sy 1
35. x 3 y 3 1
36. x 4 y 4 a 4
37. Se pueden crear formas caprichosas con las capacidades de
construir gráficas en forma implícita de los sistemas algebraicos
para computadora (sistema de computo algebraico).
(a) Trace la gráfica de la curva con ecuación
44. La regla de la potencia se puede demostrar por medio de la
derivación implícita para el caso donde n es un número
racional, n pq, y se presupone que y f x x n es una
función derivable. Si y x pq , entonces y q x p . Mediante la
derivación implícita demuestre que
y p q x pq1
45–54 Halle la derivada de la función. Simplifique donde se pueda.
45. y tan 1 sx
46. y stan 1 x
47. y sen 1 2x 1 48. tx sx 2 1 sec 1 x
49. Gx s1 x 2 arcos x 50. y tan 1 (x s1 x 2 )
51. ht cot 1 t cot 1 1t 52. Fu arcsin ssen u
53. y cos 1 e 2x
54.
y arctan 1 x
1 x
CAS
¿En cuántos puntos esta curva tiene tangentes horizontales?
Estime las coordenadas x de estos puntos.
(b) Encuentre las ecuaciones de las rectas tangentes en los
puntos (0, 1) y (0, 2).
(c) Halle las coordenadas x exactas de los puntos mencionados
en el inciso (a).
(d) Cree curvas incluso más caprichosas modificando la ecuación
del inciso (a).
38. (a) La curva con ecuación
39.
se ha ligado a un carretón que rebota. Utilice un sistema de
computo algebraico para dibujarla y descubra por qué.
(b) ¿En cuántos puntos esta curva tiene tangentes horizontales?
Encuentre las coordenadas x de estos puntos.
Halle los puntos de la lemniscata del ejercicio 29 donde la
tangente sea horizontal.
40. Demuestre por derivación implícita que la tangente a la elipse
en el punto (x 0, y 0) es
41. Formule una ecuación para la tangente a la hipérbola
en el punto x 0, y 0.
yy 2 1y 2 xx 1x 2
2y 3 y 2 y 5 x 4 2x 3 x 2
x 2
a 2 y 2
b 2 1
x 0x
a 2
y0y
b 2 1
x 2
a 2 y 2
b 2 1
42 Demuestre que la suma de las intersecciones x y y de cualquier
recta tangente a la curva sx sy sc es igual a c.
43. Mediante la derivación implícita demuestre que cualquier
tangente en un punto P a una circunferencia con centro O es
perpendicular al radio OP.
; 55–56 Encuentre f x. Compruebe si su respuesta es razonable
comparando las gráficas de f y f.
55. fx s1 x 2 arcsen x 56. f x arctan x 2 x
57. Compruebe las fórmulas ddxcos 1 x y ddxsen 1 x por
medio del mismo método.
58. (a) Una manera de definir sec 1 x es decir que
y sec 1 x &? sec y x y 0 y 2, o bien,
. Demuestre que con esta definición,
(b) Otro modo de definir sec 1 x que se utiliza a veces es decir
que y sec 1 x &? sec y x y 0 y , y 0.
Demuestre que con esta definición
59–62 Dos curvas son ortogonales si sus rectas tangentes son
perpendiculares en cada punto de intersección. Demuestre que las
familias dadas de curvas son trayectorias ortogonales entre sí, es
decir, cualquier curva en una familia es ortogonal a cualquier curva
en la otra familia. Dibuje ambas familias de curvas usando los
mismos ejes de coordenadas.
59.
60.
61.
62.
63.
y 32
x 2 y 2 r 2 ,
x 2 y 2 ax,
y cx 2 ,
y ax 3 ,
d
dx sec1 x
d
dx sec1 x
ax by 0
x 2 y 2 by
x 2 2y 2 k
x 2 3y 2 b
1
xsx 2 1
1
x sx 2 1
La ecuación x 2 xy y 2 3 representa una “elipse girada”;
es decir, una elipse cuyos ejes no son paralelos a los ejes de
coordenadas. Encuentre los puntos en que esta elipse cruza el