calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 3.7 RAZONES DE CAMBIO EN LAS CIENCIAS NATURALES Y SOCIALES |||| 223
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√
a
s
0 5
-12
(h) La figura 3 escribe las gráficas de s, v y a.
(i) El incremento de la rapidez de la partícula cuando la velocidad es positiva y
creciente (v y a son positivas) y también cuando la velocidad es negativa y decreciente
(v y a son negativas). En otras palabras, el aumento en la rapidez cuando la velocidad y
la aceleración tiene el mismo signo. (La partícula es empujada en la misma dirección
en que se está moviendo.) De la figura 3 se ve que ésta sucede cuando 1 t 2 y cuando
t 3. La partícula disminuye su rapidez cuando v y a tienen signos opuestos, es decir,
cuando 0 t 1 y cuando 2 t 3. La figura 4 resume el movimiento de la partícula
FIGURA 3
TEC En Module 3.7 puede ver una animación
de la figura 4 con una expresión
para s que selecione.
5
0
_5
√
1
s
a
t
hacia
adelante
hacia
atras
hacia
adelante
FIGURA 4
disminuye aumenta disminuye
su rapidez su rapidez su rapidez
aumenta
su rapidez
EJEMPLO 2 Si una varilla o un trozo de alambre son homogéneos, entonces su densidad
lineal es uniforme y se define como la masa por unidad de longitud y se mide
en kilogramos por cada metro. Pero suponga que la varilla no es homogénea sino que su
masa medida desde su extremo izquierdo hasta un punto x es m f(x), como se muestra
en la figura 5.
x
ml
FIGURA 5
Esta parte de la varilla
tiene una masa ƒ.
x¡ x
La masa de la parte de la varilla que se encuentra entre x x 1 y x x 2 se expresa con
m f(x 2 ) f(x 1 ), de modo que la densidad promedio de esa sección es
densidad promedio m
x f x 2 f x 1
x 2 x 1
Si ahora hace que x l 0 (es decir x 2 l x 1 ), calcule la densidad promedio sobre un
intervalo cada vez más pequeño. La densidad lineal r en x 1 es el límite de estas densidades
promedio cuando x l 0; es decir, la densidad lineal es la razón de cambio de la masa
con respecto a la longitud. En forma simbólica,
lím
x l 0
m
x dm
dx
De este modo, la densidad lineal de la varilla es la derivada de la masa con respecto a la
longitud.