calculo-de-una-variable-1

496 |||| CAPÍTULO 7 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
y
La segunda situación surge cuando la función se determina a partir de un experimento
científico a través de lecturas de instrumento o datos reunidos. Podría no haber fórmula para
la función (véase ejemplo 5).
En ambos casos se necesita hallar valores aproximados de integrales definidas. Ya se conoce
un método. Recuerde que la integral definida se define como un límite de sumas de
Riemann, así que cualquier suma de Riemann se podría usar como una aproximación a la
integral: Si se divide a, b en n subintervalos de igual longitud x b an, por lo
tanto se tiene
y b
f x dx n
f x* i x
a
i1
donde x*
i es cualquier punto en el i-ésimo subintervalo x i1 , x i . Si se elige que x*
i sea el
punto final izquierdo del subintervalo, entonces x* i x i1 y se tiene
0 x¸ ⁄ ¤ ‹ x¢ x
(a) Aproximación de punto final izquierdo
1
y b
f x dx L n n
f x i1 x
a
i1
y
Si f x 0, entonces la integral representa un área y (1) representa una aproximación de
esta área mediante los rectángulos mostrados en la figura 1(a). Si se elige que x*
i sea el
punto final derecho, en seguida x* i x i y se tiene
2
y b
f x dx R n n
f x i x
a
i1
0 x¸ ⁄ ¤ ‹ x¢ x
(b) Aproximación de punto final derecho
y
[Véase la figura 1(b)]. Las aproximaciones L n y R n definidas por las ecuaciones 1 y 2 se
llaman aproximación de punto final izquierdo y aproximación de punto final derecho,
respectivamente.
En la sección 5.2 se consideró también el caso donde x*
i se elige como el punto medio
x i del subintervalo x i1 , x i . En la figura 1(c) se muestra la aproximación de punto medio
, que parece ser mejor que o .
M n
L n
R n
REGLA DEL PUNTO MEDIO
0 ⁄ – ¤– –‹ x¢ – x
(c) Aproximación de punto medio
FIGURA 1
donde
y bien
y b
f x dx M n x f x 1 f x 2 f x n
a
x b a
n
x i 1 2 x i1 x i punto medio de x i1 , x i
Otra aproximación, llamada regla del trapecio, resulta de promediar las aproximaciones
de las ecuaciones 1 y 2:
y b
f x dx 1 n
f x i1 x n
f x i x x
n
f x i1 f x i
a 2 i1
i1
2 i1
x
2 f x 0 f x 1 f x 1 f x 2 f x n1 f x n
x
2 f x 0 2 f x 1 2 f x 2 2 f x n1 f x n