calculo-de-una-variable-1

612 |||| CAPÍTULO 9 ECUACIONES DIFERENCIALES
Una parte importante del proceso de representación, como se analizó en la sección 1.2,
es interpretar las conclusiones matemáticas como predicciones del mundo real y probar las
predicciones contra datos reales. La Hudson’s Bay Company, que comenzó a comercializar
pieles de animales en Canadá en 1670, ha mantenido registros que datan de la década
de 1840. En la figura 6 se muestran las gráficas del número de pieles de la liebre americana
y su predador, el lince de Canadá, comercializadas por la compañía durante un periodo
de 90 años. Se puede ver que las oscilaciones acopladas en las poblaciones de liebres y linces
predichas por el modelo de Lotka-Volterra ocurren en realidad, y el periodo de estos
ciclos es aproximadamente 10 años.
160
liebre
FIGURA 6
Abundancia relativa de liebres
y linces de los registros de la
Hudson’s Bay Company
Miles
de liebres
120
0 1850 1875 1900 1925
9
lince
80
40
6
3
Miles
de linces
Aunque el modelo relativamente simple de Lotka-Volterra ha tenido cierto éxito en explicar
y predecir poblaciones acopladas, han sido propuestos modelos más complejos. Una
manera de modificar las ecuaciones de Lotka-Volterra es suponer que, en ausencia de predadores,
la presa crece de acuerdo con un modelo logístico con capacidad de soporte K.
Después las ecuaciones de Lotka-Volterra (1) se reemplazan por el sistema de ecuaciones
diferenciales
dR
dt
kR1 R K aRW
dW
dt
rW bRW
Este modelo se investiga en los ejercicios 9 y 10.
Han sido propuestos modelos para describir y predecir niveles de población de dos
especies que compiten por los mismos recursos o cooperan para beneficio mutuo. Esta
clase de modelos se explora en el ejercicio 2.
9.6
EJERCICIOS
1. Para cada sistema depredador-presa, determine cuál de las variables,
x o y, representa la población de presas y cuál representa
la población de depredadores. ¿El crecimiento de la presa
está restringido sólo por los depredadores, o también por otros
factores? ¿Los predadores se alimentan sólo de la presa, o tienen
fuentes de alimento adicionales? Explique.
dx
(a) 0.05x 0.0001xy
dt
dy
0.1y 0.005xy
dt
dx
(b)
dt 0.2x 0.0002x 2 0.006xy
dy
0.015y 0.00008xy
dt
2. Cada sistema de ecuaciones diferenciales se modela para dos
especies que compiten por los mismos recursos o cooperan para
beneficio mutuo (plantas que florecen e insectos polinizadores,
por ejemplo). Decida si cada sistema describe la competencia o
la cooperación, y explique por qué es un modelo razonable.
(Pregúntese qué efecto tiene en una especie un incremento en
la rapidez de crecimiento de la otra.)
dx
(a)
dt 0.12x 0.0006x 2 0.00001xy
dy
0.08x 0.00004xy
dt
dx
(b)
dt 0.15x 0.0002x 2 0.0006xy
dy
dt 0.2y 0.00008y 2 0.0002xy