calculo-de-una-variable-1

558 |||| CAPÍTULO 8 MÁS APLICACIONES DE LA INTEGRACIÓN
EJEMPLO 3 Encuentre la media de la distribución exponencial del ejemplo 2:
f t 0 ce ct si t 0
si t 0
SOLUCIÓN De acuerdo con la definición de una media, se tiene
y
tft dt y
tce ct dt
0
& El límite del primer término es 0 por la regla
de l’Hospital.
Para evaluar esta integral se usa la integración por partes, con u t y dv ce :
y
tce ct dt lím y x
tce ct dt lím
0
x l 0
x l te ct ] x 0 y x
e dt
ct dt
ct
0
lím
1
x l xe cx
1 c ecx
c c
La media es
como
1c
, así que se puede reescribir la función de densidad de probabilidad
f t 0
1 e t
si t 0
si t 0
V EJEMPLO 4 Suponga que el tiempo de espera promedio para que la llamada de un
cliente sea contestada por un representante de la compañía es cinco minutos.
(a) Encuentre la probabilidad de que una llamada sea contestada durante el primer minuto.
(b) Determine la probabilidad de que un cliente espere más de cinco minutos a que sea
contestada su llamada.
SOLUCIÓN
(a) Se tiene como dato que la media de la distribución exponencial es min y, por lo
tanto, del resultado del ejemplo 3, se sabe que la función de densidad de probabilidad es
Por esto, la probabilidad de que una llamada sea contestada durante el primer minuto es
Por consiguiente, cerca de 18% de las llamadas de los clientes, serán contestadas durante
el primer minuto.
(b) La probabilidad de que un cliente espere más de cinco minutos, es
PT 5 y
f t dt y
0.2e t5 dt
5
f t 0 0.2e t5 si t 0
si t 0
P0 T 1 y 1
f t dt
5
lím
y x
x l 5
1 e 0.368
0
0.25e t5 1
y 1
0.2e t5 dt
] 0
0
1 e 15 0.1813
0.2e t5 dt lím
x l e1 e x5
5
Cerca de 37% de los clientes espera más de cinco minutos antes de que su llamada sea
contestada.