calculo-de-una-variable-1

330 |||| CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVACIÓN
43. En una colmena cada celda es un prisma hexagonal regular,
abierto en uno de sus extremos y con un ángulo triedro en el
otro como en la figura. Se cree que las abejas forman sus celdas
de manera que se minimice el área superficial para un volumen
dado, usando de esta forma la menor cantidad de cera en la
construcción de las mismas. El examen de estas celdas ha hecho
ver que la medida del ángulo u es sorprendentemente coherente.
Con base en la geometría de la celda, se puede demostrar que
el área superficial S se expresa con
S 6sh 3 2 s 2 cot (3s 2 s32) csc
donde s, la longitud de los lados del hexágono, y h la altura,
son constantes.
(a) Calcule .
(b) ¿Cuál ángulo deben preferir las abejas?
(c) Determine el área superficial mínima de la celda (en términos
de s y h).
Nota: Se han hecho medidas reales del ángulo u en las colmenas
y las medidas de estos ángulos rara vez difieren del valor
calculado más de 2°.
dSd
parte posterior
de la celda
44. Un barco sale de un muelle a las 2:00 P.M. y viaja con rumbo
al sur con una rapidez de 20 kmh. Otro buque ha estado navegando
con rumbo al este a 15 kmh y llega al mismo muelle a
las 3:00 P.M. ¿A qué hora estuvieron más cerca entre sí los dos
navíos?
45. Resuelva el problema del ejemplo 4 si el río mide 5 km de
anchura y el punto B está a sólo 5 km corriente abajo de A.
46. Una mujer que se encuentra en un punto A sobre la playa de un lago
circular con radio de 2 mi desea llegar al punto C, opuesto al A
sobre el otro lado del lago, en el tiempo más corto posible. Puede
caminar a razón de 4 mih y remar en un bote a 2 mih. ¿En qué
ángulo en relación con el diámetro debe remar?
A
b
¨
2
s
h
ángulo
triedro
parte delantera
de la celda
2
B
C
47. Una refinería se localiza al norte de la orilla de un río recto
que es de 2 km de ancho. Se debe construir una tubería desde
la refinería hasta un tanque de almacenamiento que se localiza
al sur de la orilla del río 6 km al este de la refinería. El costo de
instalación de la tubería es 400 000 dólares/km en tierra hasta
el punto P al norte de la orilla y 800 000 dólares/km bajo el río
hasta el tanque. Con la finalidad de minimizar el costo de la
tubería, ¿dónde se localiza P?
; 48. Considere que la refinería en el ejercicio 47 se localiza a 1 km
al norte del río. ¿Dónde se localiza P?
49.
50.
La iluminación de un objeto por una fuente luminosa es directamente
proporcional a la intensidad de la fuente e inversamente
proporcional al cuadrado de la distancia a esa fuente. Si se colocan
dos fuentes luminosas, una tres veces más fuerte que la
otra, separadas una distancia de 10 pies, ¿dónde debe colocarse
un objeto sobre la recta entre las dos fuentes de modo que reciba
la iluminación mínima?
Encuentre una ecuación de la recta que pasa por el punto 3, 5
que elimine el área mínima del primer cuadrante.
51. Sean a y b números positivos. Encuentre la longitud más corta
del segmento rectilíneo que sea cortado por el primer cuadrante
y pase por el punto a, b.
52. ¿En qué puntos de la curva y 1 40x 3 3x 5 la recta tangente
tiene la pendiente más grande?
53. (a) Si C(x) es el costo de producir x unidades de una
mercancía, en tal caso el costo promedio por cada unidad
es c(x) C(x)/x. Demueste que si el costo promedio es un
mínimo, en tal caso el costo marginal es igual al costo
promedio.
(b) Si C(x) 16 000 200x 4x 3/2 , en dólares, hallar (i) el
costo, costo promedio, y costo marginal en un nivel de
producción de 1 000 unidades; (ii) el nivel de producción
que minimizará el costo promedio; y (iii) el costo promedio
mínimo.
54. (a) Demuestre que si la utilidad P(x) es un máximo, por lo
tanto el ingreso marginal es igual al costo marginal.
(b) Si C(x) 16 000 500x 1.6 x 2 0.004x 3 es la
función costo y p(x) 1700 7x es la función demanda,
hallar el nivel de producción que maximice la utilidad.
55.
Un equipo de béisbol juega en un estadio con una capacidad de
55 000 espectadores. Con precios de los boletos en $10, la asistencia
promedio fue de 27 000 espectadores. Cuando el precio
bajó hasta $8, la asistencia promedio subió hasta 33 000.
(a) Encuentre la función de demanda, suponiendo que es
lineal.
(b) ¿A qué precio deben fijarse los boletos para maximizar el
ingreso?
56. Durante los meses de verano, Andrés hace y vende collares en
la playa. El verano anterior los vendió a $10 cada uno y sus
ventas promediaron 20 unidades por día. Cuando aumentó el
precio $1, encontró que perdió dos ventas diarias.
(a) Encuentre la función de demanda, suponiendo que es
lineal.
(b) Si el material para cada collar le cuesta $6 a Andrés, ¿cuál debe
ser el precio de venta para que maximice su utilidad?