calculo-de-una-variable-1

528 |||| CAPÍTULO 8 MÁS APLICACIONES DE LA INTEGRACIÓN
Debido a la presencia del signo de la raíz cuadrada en las fórmulas 2 y 4, el cálculo de
una longitud de arco a menudo conduce a una integral que es muy difícil o incluso imposible
de evaluar de manera explícita. Así, algunas veces se tiene que conformar con hallar
una aproximación de la longitud de una curva como en el siguiente ejemplo.
V EJEMPLO 3
(a) Establezca una integral para la longitud del arco de la hipérbola xy 1 del punto
(1, 1) al punto (2, 1 2) .
(b) Use la regla de Simpson con n 10 para estimar la longitud de arco.
SOLUCIÓN
(a) Se tiene
y 1 x
dy
dx 1 x 2
y, por lo tanto, la longitud de arco es
2
L y 1 dy 2
2
dx
1 dx y 1 1
1 x dx y 2
4 1
sx 4 1
x 2 dx
(b) Por medio de la regla de Simpson (véase la sección 7.7) con a 1, b 2, n 10,
x 0.1, y f x s1 1x 4 , se tiene
& Al comprobar el valor de la integral definida
con una aproximación más exacta producida por
un sistema algebraico computacional, se ve que
la aproximación por medio de la regla de Simpson
es exacta hasta cuatro decimales.
L y
2
x
3
1
1 1 x 4 dx
1.1321
f 1 4 f 1.1 2 f 1.2 4 f 1.3 2 f 1.8 4 f 1.9 f 2
FUNCIÓN DE LA LONGITUD DE ARCO
Se encontrará útil tener una función que mida la longitud de arco de una curva de un determinado
punto de partida a cualquier otro punto sobre la curva. Así, si una curva uniforme C
tiene la ecuación y f x, a x b, sea sx la distancia a lo largo de C del punto inicial
P 0 a, f a al punto Qx, f x. Entonces s es una función, llamada la función longitud de
arco y, por la fórmula 2,
5
sx y x
a s1 f t2 dt
(Se ha reemplazado la variable de integración por t para que x no tenga dos significados.)
Se puede usar la parte 1 del teorema fundamental del cálculo para derivar la ecuación 5
(puesto que el integrando es continuo):
6
ds
dx s1 f x2 1
dx
dy 2