calculo-de-una-variable-1

608 |||| CAPÍTULO 9 ECUACIONES DIFERENCIALES
litro. A fin de reducir la concentración de cloro, se bombea agua
nueva hacia el recipiente a una proporción de 4 Ls . La mezcla
se mantiene agitada y se bombea hacia afuera con una proporción
de 10 Ls . Encuentre la cantidad de cloro en el recipiente
como una función del tiempo.
35. Se deja caer desde el reposo un objeto con masa m y se supone
que la resistencia del aire es proporcional a la rapidez del objeto.
Si st es la distancia recorrida después de t segundos, después
la rapidez es v st y la aceleración es a vt. Si t es la aceleración
debida a la gravedad, luego la fuerza hacia abajo sobre el
objeto es mt cv, donde c es una constante positiva, y la segunda
ley de Newton da
m dv
dt
mt cv
(a) Resuélvala como una ecuación lineal para mostrar que
v mt
c
1 ectm
(b) ¿Cuál es la velocidad límite?
(c) Encuentre la distancia que ha recorrido el objeto después de
t segundos.
36. Si se ignora la resistencia del aire, se puede concluir que los objetos
más pesados no caen más rápido que los objetos ligeros. Pero
si se toma en cuenta la resistencia del aire, la conclusión cambia.
Use la expresión para la velocidad de un objeto que cae en el
ejercicio 35(a) para hallar dvdm y muestre que los objetos más
pesados caen más rápido que los más ligeros.
9.6
SISTEMAS DEPREDADOR-PRESA
Se ha observado una variedad de modelos para el crecimiento de una sola especie que vive
sola en un ambiente. En esta sección se consideran modelos más reales que toman en
cuenta la interacción de dos especies en el mismo hábitat. Se verá que estos modelos toman
la forma de un par de ecuaciones diferenciales enlazadas.
Se considera primero la situación en la que una especie, llamada presa, tiene un suministro
amplio de alimento y la segunda especie, llamada depredador, se alimenta de la
presa. Ejemplos de presas y depredadores incluyen conejos y lobos en un bosque aislado,
peces y tiburones, pulgones y mariquitas, y bacterias y amebas. El modelo tendrá dos variables
dependientes, y ambas son funciones del tiempo. Sea Rt el número de presas
(con R que representa conejos) y Wt el número de depredadores (con W para lobos) en
el tiempo t.
En ausencia de depredadores, el suministro amplio de alimento soportaría el crecimiento
exponencial de la presa, es decir,
dR
kR donde k es una constante positiva
dt
En ausencia de presa, se supone que la población de depredadores disminuiría con una
rapidez proporcional a sí misma, es decir,
W representa al depredador.
R representa a la presa.
donde r es una constante positiva
Sin embargo, con ambas especies presentes, se supone que la causa principal de muerte
entre la presa que está siendo comida por un depredador, y los ritmos de natalidad y supervivencia
de los depredadores depende de su suministro de alimento variable, a saber, la
presa. Se supone también que las dos especies se encuentran entre sí a una frecuencia que
es proporcional a ambas poblaciones y, por lo tanto, es proporcional al producto RW.
(Mientras mayor sea la cantidad de cualquier población, es más probable que haya mayor
número de encuentros). Un sistema de dos ecuaciones diferenciales que incorpora estas
suposiciones, es como sigue:
1
dW
dt
dR
dt
rW
kR aRW
donde k, r, a y b son constantes positivas. Observe que el término aRW disminuye la
rapidez de crecimiento natural de la presa y el término bRW incrementa la rapidez de crecimiento
natural de los depredadores.
dW
dt
rW bRW