calculo-de-una-variable-1

220 |||| CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN
Si hace n 1x en la fórmula (5), en seguida n l cuando x l 0 y, por consiguiente
una expresión alternativa para e es
6
e lím 1 n
n l 1
n
3.6
EJERCICIOS
1. Explique por qué en cálculo se usa con mucha más frecuencia
la función logarítmica natural, y ln x, que las otras funciones
logarítmicas, y log a x.
2–22 Derive la función.
33–34 Determine una ecuación de la tangente a la curva en un
punto dado.
33. y lnxe x2 , 1,1 34. y lnx 3 7, 2, 0
2. f x lnx 2 10
3. f x senln x
4.
5. f x log 21 3x 6.
7. f x s 5 ln x
8.
9. f x sen x ln5x 10.
2t 13
11. Ft ln 12.
3t 1 4
tx ln(x sx 2 1)
13. 14.
ln u
15. f u
16.
1 ln2u
y ln 2 x 5x2
17. 18.
19. y lne x xe x 20.
21. x 2xlog 10sx
22.
23–26 Encuentre y y y.
23. y x 2 ln2x
24.
25. y lnx s1 x 2 26.
f x lnsen 2 x
f x log 5xe x
f x ln s 5 x
f t 1 ln t
1 ln t
hx ln(x sx 2 1)
Fy y ln1 e y
y 1
ln x
Hz ln a2 z 2
a 2 z 2
y ln1 e x 2
x
y log 2e cos x
y ln x
x 2
y lnsec x tan x
; 35. Si f x sen x ln x, encuentre f x. Compruebe si su respuesta
es razonable comparando las gráficas de f y f.
; 36. Encuentre una ecuación de la recta tangente a la curva
y ln xx, en los puntos 1, 0 y e, 1e. Ilustre lo anterior
dibujando la curva y sus rectas tangentes.
37–48 Aplique la derivación logarítmica para hallar la derivada de
la función.
37. y 2x 1 5 x 4 3 6 38. y sx e x 2 x 2 1 10
39. 40. y 4 x 2 1
y sen2 x tan 4 x
x 2 1 2 x 2 1
41.
43.
y x x
y x sen x
42.
44.
45. y cos x x
46. y sen x ln x
47. y tan x l/x
48. y ln x cos x
49. Encuentre y si y lnx 2 y 2 .
50. Halle y si x y y x .
y x cos x
y sx x
27–30 Derive f y encuentre su dominio.
x
1
27. f x
28. f x
1 lnx 1
1 ln x
29. f x lnx 2 2x 30. f x ln ln ln x
31. Si f x ln x , determine f 1.
x 2
32. Si f x ln1 e 2x , determine f 0.
51. Encuentre una fórmula para f n x si f x lnx 1.
52. Encuentre .
dx x 8 ln x
9
53.
d 9
Use la definición de derivada para probar que
ln1 x
lím 1
x l 0 x
52. Demuestre que lím
e x para cualquier x 0.
n l 1 x n
n