calculo-de-una-variable-1

86 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS
En la tabla siguiente se muestran los resultados de cálculos similares de la velocidad
promedio durante periodos sucesivamente cada vez más pequeños
Intervalo de tiempo
Velocidad promedio (ms)
5 t 6 53.9
5 t 5.1 49.49
5 t 5.05 49.245
5 t 5.01 49.049
5 t 5.001 49.0049
Parece que conforme acorta el periodo, la velocidad promedio se aproxima a 49 ms. La
velocidad instantánea, cuando t 5, se define como el valor límite de estas velocidades
promedio, durante periodos cada vez más cortos que se inician en t 5. En estos términos,
la velocidad (instantánea) después de 5 s es
v 49 ms
Quizá sienta que los cálculos que se utilizan en la solución de este problema son muy semejantes
a los que se aplicaron con anterioridad en esta sección para hallar tangentes. De
hecho, existe una relación íntima entre el problema de la tangente y el de hallar velocidades.
Si dibuja la gráfica de la función distancia de la pelota (como en la figura 5) y considera los
puntos Pa, 4.9a 2 y Qa h, 4.9a h 2 de la gráfica, en tonces la pendiente de la recta
secante PQ es
m PQ 4.9a h2 4.9a 2
a h a
la cual es la misma que la velocidad promedio durante el periodo a, a h. Por lo tanto, la
velocidad en el instante t a (el límite de estas velocidades promedio a medida que h tiende
a 0) debe ser igual a la pendiente de la recta tangente en P (el límite de las pendientes de las
rectas secantes).
s
s=4.9t@
s
s=4.9t@
Q
P
pendiente de la recta secante
velocidad promedio
P
pendiente de la tangente
velocidad instantánea
FIGURA 5
0
a
a+h
t
0 a
t
Los ejemplos 1 y 3 hacen ver que para resolver problemas de tangentes y de velocidades,
debe ser capaz de hallar límites. Después de estudiar los métodos para calcular límites
en las cinco secciones siguientes, en la sección 2.7 regresará a los problemas de
hallar tangentes y velocidades.