calculo-de-una-variable-1

346 |||| CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVACIÓN
; 54. (a) Use un aparato graficador para dibujar fx 2x 3sx.
(b) A partir de la gráfica del inciso (a), dibuje una gráfica aproximada
de la antiderivada F que satisfaga F0 1.
(c) Aplique las reglas de esta sección a fin de hallar una expresión
para Fx.
(d) Dibuje F usando la expresión del inciso (c). Compare con
su esquema del inciso (b).
; 55–56 Dibuje una gráfica de f y mediante ella elabore un croquis de
la antiderivada que pasa por el origen.
55. f x
sen x
1 x , 2p x 2p 2
56. f x sx 4 2x 2 2 1, 1.5 x 1.5
57–62 Una partícula se desplaza de acuerdo con la información dada.
Determine la posición de la partícula.
57. vt sen t cos t, s0 0
58.
59.
vt 1.5st,
at t 2,
s4 10
s0 1, v0 3
60. at cos t sen t, s0 0,
v0 5
61. at 10 sen t 3 cos t, s0 0,
s2 12
62. at t 2 4t 6, , s0 0,
s1 20
63. Se deja caer una piedra desde la plataforma superior de observación
(la plataforma espacial) de la Torre CN, 450 m arriba
del nivel de la tierra.
(a) Encuentre la distancia de la piedra arriba del nivel de la
tierra en el instante t.
(b) ¿Cuánto tarda la piedra en llegar al nivel de la tierra?
(c) ¿Con qué velocidad choca contra el nivel de la tierra?
(d) Si la piedra se lanza hacia arriba a una rapidez de 5 m/s,
¿cuánto tarda en llegar el nivel de la tierra?
64. Demuestre que para el movimiento en línea recta con aceleración
constante a, velocidad inicial v 0 y desplazamiento inicial
s 0, el desplazamiento después del tiempo t es.
65.
s 1 2 at 2 v 0t s 0
Se proyecta un objeto hacia arriba con velocidad inicial v 0 metros
por segundo, desde un punto a s 0 metros arriba del nivel
de la tierra. Demuestre que
vt 2 v 0 2 19.6st s 0
66. Se lanzan dos pelotas hacia arriba desde el borde del acantilado
del ejemplo 7. La primera con una rapidez de 48 pies/s y la segunda
se arroja 1 s más tarde con una rapidez de 24 pies/s. ¿En
algún momento rebasa una a la otra?
67. Se dejó caer una piedra de un desfiladero y chocó contra el
nivel de la tierra con una rapidez de 120 pies/s. ¿Cuál es la altura
del desfiladero?
68. Si un clavadista con masa m está en el borde de una plataforma
de clavados con longitud L y densidad lineal r, después la plataforma
adopta la forma de una curva y fx, donde
EIy mtL x 1 2 tL x 2
E e I son constantes positivas que dependen del material con
que está hecha la plataforma y t 0 es la aceleración
debido a la gravedad.
(a) Halle una expresión para la forma de la curva.
(b) Use fL para estimar la distancia debajo de la horizontal al
borde de la plataforma.
69. Una compañía estima que el costo marginal (en dólares por artículo)
de producir x artículos es de 1.92 0.002x. Si el costo
de producción de un artículo es de $562, encuentre el costo
de producir 100 artículos.
70. La densidad lineal de una varilla con una longitud de 1 m se
expresa por medio de x 1sx en gramos por centímetro,
donde x se mide en centímetros desde uno de los extremos de
la varilla. Encuentre la masa de esta última.
71. Dado que las gotas de lluvia crecen a medida que caen, su área
superficial aumenta y, por lo tanto, se incrementa la resistencia
a su caída. Una gota de lluvia tiene una velocidad inicial hacia
abajo de 10 ms y su aceleración hacia abajo es
Si al inicio la gota de lluvia está a 500 m arriba de la superficie
de la tierra, ¿cuánto tarda en caer?
72. Un vehículo se desplaza a 50 millas/h cuando aplica los
frenos, lo que produce una desaceleración constante de 22 pies/s 2 .
¿Cuál es la distancia que recorre el automóvil antes de
detenerse?
73.
y
0
a 9 0.9t
0
si 0 t 10
si t 10
¿Que aceleración constante se requiere para incrementar la rapidez
de un vehículo desde 30 millas/h hasta 50 millas/h en 5 s?
74. Un automóvil frenó con una desaceleración constante de
16 pies/s 2 , lo que genera antes de detenerse unas marcas de deslizamiento
que miden 200 pies. ¿Qué tan rápido se desplazaba el
vehículo cuando se aplicaron los frenos?
75. Un automóvil se desplaza a 100 km/h cuando el conductor ve
un accidente 80 m más adelante y aplica los frenos apresuradamente.
¿Qué desaceleración constante se requiere para detener
el vehículo a tiempo de evitar chocar con los vehículos accidentados?
76. Un modelo de cohete se dispara verticalmente hacia arriba desde
el reposo. Su aceleración durante los primeros tres segundos
es at 60t, momento en que se agota el combustible y se
convierte en un cuerpo en “caída libre”. Después de 14 segundos,
se abre el paracaídas del cohete y la velocidad (hacia abajo)
disminuye linealmente hasta 18 pies/s en 5 s. Entonces el
cohete “flota” hasta el piso a esa velocidad.
(a) Determine la función de posición s y la función de velocidad
v (para todos los tiempos t). Dibuje s y v.
x