calculo-de-una-variable-1

316 |||| CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVACIÓN
20
y=fª(x)
_3 2
_5
FIGURA 3
1
y=ƒ
_1 1
_1
FIGURA 4
10
_3 2
y=f·(x)
_30
FIGURA 5
Cuando trace la gráfica de f de la figura 3, verá que fx cambia de negativa a positiva
cuando x 1.62; esto confirma (por la prueba de la primera derivada) el valor mínimo
encontrado al principio. Pero, quizá para sorpresa, advierta también que fx cambia de
positiva a negativa cuando x 0, y de negativa a positiva cuando x 0.35. Esto significa
que f tiene un máximo local en 0 y un mínimo local cuando x 0.35, pero éstos se encontraban
escondidos en la figura 2. En efecto, si ahora se acerca al origen en la figura 4,
verá lo que no había percibido antes: un valor máximo relativo de 0 cuando x 0 y un
valor mínimo local de casi 0.1 cuando x 0.35.
¿Qué decir acerca de la concavidad y los puntos de inflexión? Por las figuras 2 y 4
parece haber puntos de inflexión cuando x está un poco a la izquierda de 1 y cuando x
está un poco a la derecha de 0. Pero es difícil determinar los puntos de inflexión a partir
de la gráfica de f, de modo que dibuje la segunda derivada de f en la figura 5. f cambia
de positiva a negativa cuando x 1.23 y de negativa a positiva cuando x 0.19. Así,
correcto hasta dos cifras decimales, f es cóncava hacia arriba sobre , 1.23 y
0.19, y cóncava hacia abajo sobre 1.23, 0.19. Los puntos de inflexión son
1.23, 10.18) y 0.19, 0.05.
Ha descubierto que ninguna gráfica por sí sola revela todas las características importantes
de este polinomio. Pero las figuras 2 y 4, tomadas en conjunto, proporcionan
una imagen exacta.
V
EJEMPLO 2 Dibuje la función
f x x 2 7x 3
x 2
en un rectángulo de visualización que contenga todas las características importantes de la
función. Estime los valores máximos y mínimos y los intervalos de concavidad. A continuación,
aplique el cálculo para determinar estas cantidades exactas.
SOLUCIÓN La figura 6, producida por una computadora con establecimiento automático de
escala, es un desastre. Algunas calculadoras graficadoras usan 10, 10 por 10, 10
como rectángulos de visualización predeterminada, de modo que inténtelo. Obtendra la
gráfica que se muestra en la figura 7, una mejora importante.
El eje y parece ser una asíntota vertical y lo es porque
lím
x l 0
x 2 7x 3
x 2
La figura 7 también permite estimar las intersecciones con el eje x: alrededor de 0.5 y
6.5. Los valores exactos se obtienen con la fórmula cuadrática para resolver la ecuación
x 2 7x 3 0; obtiene x (7 s37)2.
3 10!*
10
10
y=ƒ
_5 5
_10
y=ƒ
_10 10
y=ƒ
y=1
_20 20
_5
FIGURA 6
FIGURA 7
Para mirar mejor las asíntotas horizontales, cambie el rectángulo de visualización
20, 20 por 5, 10 de la figura 8. Parece que y 1 es la asíntota horizontal y esto
se confirma con facilidad:
lím
x l
x 2 7x 3
x 2
FIGURA 8
lím
x l1 7 x 3 x 2 1