calculo-de-una-variable-1

402 |||| CAPÍTULO 5 INTEGRALES
posible, escoja u como alguna parte complicada del integrando (tal vez la función interna
de una función compuesta). Encontrar la sustitución correcta conlleva algo de arte. No es
raro que la conjetura sea errónea; si su primera suposición no funciona, intente con otra.
EJEMPLO 2 Evalúe y s2x 1 dx.
SOLUCIÓN 1 Sea u 2x 1. Entonces du 2 dx, de modo que dx du2. De esta forma,
la regla de sustitución da
y s2x 1 dx y su du 2 1 2 y u 12 du
1 2 u 32
32 C 1 3u 32 C
1 32x 1 32 C
SOLUCIÓN 2 Otra sustitución posible es u s2x 1. Entonces
du
dx
s2x 1
de suerte que
dx s2x 1 du udu
(O bien, observe que u 2 2x 1, de suerte que 2udu 2 dx.) En consecuencia,
1
f
u 3
3 C 1 3 2x 1 32 C
x
V EJEMPLO 3 Encuentre y
.
s1 4x dx 2
SOLUCIÓN Sea u 1 4x 2 . Entonces du 8xdx, de manera que xdx 1 8 du y
y
y s2x 1 dx y u udu y u 2 du
x
s1 4x 2 dx 1 8 y
1
su du 1 8 y u 12 du
_1 1
©= ƒ dx
_1
FIGURA 1
ƒ=
x
œ„„„„„„ 1-4≈
1
©=j ƒ dx=_ œ„„„„„„ 1-4≈
4
1 8(2su) C 1 4 s1 4x 2 C
La respuesta para el problema 3 puede comprobarse por derivación pero, en lugar
de ello, hágalo de manera visual con una gráfica. En la figura 1 se usa una
computadora para trazar las gráficas del integrando f x xs1 4x 2 y de su integral
indefinida tx 1 4s1 4x 2 (tome el caso C 0). Advierta que t(x) decrece
cuando f x es negativa, crece cuando f(x) es positiva y tiene su valor mínimo cuando
f(x) 0. De modo que parece razonable, a partir de la evidencia gráfica, que t sea una
antiderivada de f.
EJEMPLO 4 Calcule y e 5x dx.
SOLUCIÓN Si hace u 5x, entonces du 5 dx, de modo que dx 1 5 du. Por
consiguiente
y e 5x dx 1 5 y e u du 1 5 e u C 1 5 e 5x C