calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 11.4 PRUEBAS POR COMPARACIÓN |||| 709
11.4
EJERCICIOS
1.
Suponga que a n y b n son series con términos positivos y
que se sabe que b n es convergente.
(a) Si a n b n para toda n, ¿qué puede decir con respecto a
a n? ¿Por qué?
(b) Si a n b n para toda n, qué puede decir con respecto
a a n? ¿Por qué?
2. Suponga que a n y b n son series con términos positivos y
que se sabe que b n es divergente.
(a) Si a n b n para toda n, ¿qué puede decir de a n? ¿Por qué?
(b) Si a n b n para toda n, ¿que puede decir con respecto a
a n? ¿Por qué?
3–32 Determine si la serie es convergente o divergente.
3. n
4.
2n 3 1
5. n 1
n1 nsn
6.
7.
9 n
3 10 n 8.
9.
n1
n1
n1
11. n 1
12.
n4 n
n1
arctan n
13. 14.
n1
15. 2 1 n
16.
nsn
n1
1
18.
17.
n1 sn 2 1
19. 1 4 n
20.
1 3 n
n1
21. sn 2
22.
2n 2 n 1
n1
23. 5 2n
24.
1 n 2 2
n1
25. 1 n n 2
26.
n1 s1 n 2 n 6
n11
n
1
27. 28.
29. 1
30.
n1 n!
sen 1 32.
n
31.
n1
cos 2 n
n 2 1
n 1.2
2
e n
10.
n2
n1
n1
n2
n1
n1
n 4 n
n1 n 6 n
n3
n1
n1
e 1n
n1 n
n!
n1 n n
n1
n 3
n 4 1
n 1
n 2 sn
4 3 n
n1 2 n
n 2 1
3n 4 1
1 sen n
n0 10 n
sn
n 1
1
sn 3 1
1
2n 3
n 2
n 1 3
n 2 5n
n 3 n 1
n 5
s 3 n 7 n 2
1
n 11n
33–36 Mediante la suma de los primeros 10 términos, obtenga un
valor aproximado de la suma de la serie. Estime el error.
33. 1
34.
n1 sn 4 1
35. 1
36.
1 2 n
37.
El significado de la representación decimal de un número
0.d 1d 2d 3 . . . (donde el dígito d i es uno de los números 0, 1,
2,...,9) es que
Demuestre que esta serie siempre es convergente.
38. ¿Para qué valores de p la serie n2 1n p ln n es
convergente?
39. Demuestre que si a n 0 y a n converge, por lo tanto a n
2
también converge.
40. (a) Suponga que a n y b n son series con términos positivos y
que b n es convergente. Demuestre que si
41.
n1
0.d 1d 2d 3d 4 ... d1
10 d2
10 2 d3
10 3 d4
10 4
entonces a n también es convergente.
(b) Mediante el inciso (a) demuestre que la serie converge.
(i)
(ii)
(a) Suponga que a n y b n son series con términos positivos y
que b n es divergente. Demuestre que si
entonces a n también es divergente.
(b) Use el inciso (a) para demostrar que la serie es divergente.
(i)
ln n
n1 n 3
n2
1
ln n
a n
lím 0
n l b n
a n
lím
n l b n
(ii)
n1
n1
ln n
sne n
ln n
n1 n
n
n 13 n
42. Proporcione un ejemplo de un par de series a n y b n con términos
positivos donde lím nl a nb n 0y b n diverge, pero
a n converge. [Compare con el ejercicio 40.]
43. Demuestre que si a n 0 y lím nl na n 0, en tal caso a n es
divergente.
44. Demuestre que si a n 0y a n es convergente, por lo tanto
ln1 a n es convergente.
45. Si a n es una serie convergente con términos positivos, ¿es
cierto que sena n también es convergente?
46. Si a n y b n son series convergentes con términos positivos,
¿es cierto que a nb n también es convergente?
n1
sen 2 n
n 3