calculo-de-una-variable-1

PROBLEMAS ADICIONALES
En el análisis de los principios para la resolución de problemas, se consideró la estrategia
para resolver problemas llamada Introduzca algo adicional (véase la página 76). En el ejemplo
siguiente, se muestra cómo este principio resulta útil a veces cuando evalúa límites. La
idea es cambiar la variable —introducir una nueva variable relacionada con la original— de
tal manera que el problema se haga más sencillo. Más adelante, en la sección 5.5, utilizará
más esta idea general.
EJEMPLO 1 Evalúe
lím
x l 0
s 3 1 cx 1
x
, donde c es una constante.
SOLUCIÓN Según se ve, este límite parece desafiante. En la sección 2.3 evaluó varios límites en
los que tanto el numerador como el denominador tendieron a 0. Allí, la estrategia fue realizar
cierto tipo de manipulación algebraica que condujo a una cancelación simplificadora, pero en
este caso no está claro qué clase de álgebra se necesita.
Por lo tanto, se introduce una nueva variable t mediante la ecuación
También necesita expresar x en términos de t, de modo que resuelva esta ecuación:
Advierta que x l 0 equivale a t l 1. Esto permite convertir el límite dado en uno que
comprende la variable t:
El cambio de variable permitió reemplazar un límite relativamente complicado con uno
más sencillo de un tipo que ya ha visto. Si factoriza el denominador como un diferencia
de cubos, obtiene
lím
t l1
ct 1
t 3 1
t s 3 1 cx
t 3 1 cx
s 3 1 cx 1
lím
x l 0 x
x t 3 1
c
lím
t l1
lím
t l1
lím
t l1
t 1
t 3 1c
lím
t l1
ct 1
t 3 1
ct 1
t 1t 2 t 1
c
t 2 t 1 c 3
Los problemas siguientes sirven para poner a prueba y desafiar sus habilidades para
resolver problemas. Algunos requieren una cantidad considerable de tiempo para pensar,
de modo que no se desaliente si no los puede resolver de inmediato. Si tiene alguna
dificultad, quizás le sirva consultar el análisis de los principios para la resolución de
problemas en la página 76.
PROBLEMAS
s 3 x 1
1. Evalúe lím .
x l1 sx 1
sax b 2
2. Encuentre los números a y b tales que lím
1.
x l 0 x
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