calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 3.5 DERIVACIÓN IMPLÍCITA |||| 211
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(Note que en el lado izquierdo aplica la regla de la cadena y, en el derecho, la regla de la cadena
y la del producto.) Si agrupa los términos que contienen y, obtiene
_2 2
Por lo que
cosx y y 2 sen x 2y cos xy cosx y y
y y 2 sen x cosx y
2y cos x cosx y
FIGURA 6
_2
En la figura 6 dibujada con el comando de construir gráficas en forma implícita de un
sistema de cálculo algebraico, se muestra parte de la curva sen(x y) y 2 cos x.
Como comprobación del cálculo, advierta que y 1, cuando x y 0 y al parecer
de la gráfica la pendiente es aproximadamente a 1 en el origen.
El siguiente ejemplo muestra cómo encontrar la segunda derivada de una función si es
definida implícita.
EJEMPLO 4 Hallar y sí x 4 y 4 ) 16.
SOLUCIÓN Derivando la ecuación de manera implicita con respecto a x, obtiene
Resolviendo para y
4x 3 4y 3 y 0
& La figura 7 muestra la gráfica de la curva
x 4 y 4 16 del ejemplo y observe que su
versión del círculo se extiende y se achata
x 2 y 2 4. Por esta razón algunas veces
se le llama círculo grueso, inicia muy escarpador
a la izquierda pero rapidamente se hace muy
plano. Se puede ver de la expresión.
y x3
y x 3
y
3
y
2
0
x$+y$=16
2
x
3
Para hallar y derive esta expresión para y aplicando la regla del cociente recordando que
y es una función de x:
3 y d x3
y3 d/dxx 3 x 3 d/dxy 3
dx y y 3 2
y3 3x 2 x 3 3y 2 y
y 6
Si ahora sustituye la ecuación 3 dentro de esta expresión, obtiene
y
y x3
y 2
3x 2 y 3 3x 2 x3
y2 y 6
3x2 y 4 x 6
y 7
y 3
3x2 y 4 x 4
y 7
Pero el valor de x y y debe satisfacer la ecuación original x 4 y 4 16. De esa manera la
respuesta se simplifica a
FIGURA 7
y 3x2 16
y 7
48 x2
y 7
DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
Las funciones trigonométricas inversas se repasan en la sección 1.6. En la sección 2.5
analizó su continuidad y en la sección 2.6 sus asíntotas. Aquí se usa la derivación implícita
para hallar las derivadas de las funciones trigonométricas inversas, porque se supone que