calculo-de-una-variable-1

132 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS
y
y=ƒ
Es necesario remarcar que el símbolo no representa un número, pero la expresión
lím f x L se lee a menudo como
x l
“el límite de fx, cuando x tiende al infinito negativo, es L”.
y=L
0
x
La definición 2 se ilustra en la figura 3. Observe que la gráfica tiende a la recta y L como
en el extremo izquierdo de cada gráfica.
y=L
FIGURA 3
Ejemplos que ilustran lím ƒ=L
FIGURA 4
y=tan–!x
FIGURA 5
y
2
y
0
y=ƒ
π
2
_ π 2
x
_`
0 2
x
y
0
x
x
3 DEFINICIÓN
y fx si
La recta y L se llama asíntota horizontal de la curva
lím f x L o bien lím f x L
x l x l
Por ejemplo, la curva que se ilustra en la figura 1 tiene la recta y 1 como asíntota
horizontal porque
x 2 1
lím
x l x 2 1 1
Un ejemplo de una curva con dos asíntotas horizontales es y tan 1 x. (Véase la figura 4.)
En efecto,
4
lím
x l tan1 x
de modo que las dos rectas y p2 y y p2 son asíntotas horizontales. (Éste surge
a partir del hecho de que las rectas x p2 son asíntotas verticales de la gráfica de
tan.)
EJEMPLO 1 Encuentre los límites infinitos, los límites en el infinito y las asíntotas para la
función f cuya gráfica se muestra en la figura 5.
SOLUCIÓN Ya que los valores de fx se vuelven grandes cuando x l 1 por ambos lados;
por lo tanto
Advierta que fx se hace negativo grande en magnitud cuando x tiende a 2 por la izquierda,
pero grande positivo cuando x tiende a 2 por la derecha. De este modo,
lím f x
x l2
y
lím
x l tan1 x
2
2
lím f x
x l1
lím f x
x l2
De esta suerte, las dos rectas x 1 y x 2 son asíntotas verticales.
Cuando x crece, fx tiende a 4. Pero cuando x decrece a través de valores negativos,
fx tiende a 2. Así entonces,
lím f x 4
x l
y
lím f x 2
x l
Esto significa que tanto y 4 como y 2 son asíntotas horizontales.