calculo-de-una-variable-1

146 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS
Esto significa que la velocidad en el instante t a es igual a la pendiente de la recta tangente
en P. (Compare las ecuaciones 2 y 3.)
Ahora que sabe calcular límites, vuelva a considerar el problema de la pelota que cae.
V EJEMPLO 3 Suponga que se deja caer una pelota desde la plataforma superior de
observación de la Torre CN, 450 m sobre el nivel del suelo.
(a) ¿Cuál es la velocidad de la pelota después de 5 segundos?
(b) ¿Con qué velocidad viaja cuando choca contra el suelo?
& Recuerde que en la sección 2.1 vimos que
la distancia (en metros) que recorre la pelota
que cae una vez que transcurren t segundos
es 4.9t 2 .
SOLUCIÓN Necesita hallar la velocidad cuando t 5 y cuando la pelota golpea el suelo,
de tal manera, que es eficaz iniciar la búsqueda de la velocidad en un tiempo común
t a. Empleando la ecuación de movimiento s ft 4.9t 2 , tiene
(a) La velocidad después de 5 s es v5 9.85 49 ms.
(b) Como la plataforma de observación está 450 m sobre el nivel del suelo, la pelota
chocará contra el suelo en el instante t 1 , cuando st 1 450; es decir,
Esto da
va lím
h l 0
f a h f a
h
lím
h l 0
4.92a h 9.8a
t 1 2 450
4.9
4.9t 2 1 450
Por lo tanto, la velocidad de la pelota cuando choca contra el suelo es
y
lím
h l 0
4.9a h 2 4.9a 2
h
4.9a 2 2ah h 2 a 2 4.92ah h 2
lím
lím
h l 0 h
h l 0 h
t 1
450
4.9 9.6 s
vt 1 9.8t 1 9.8 450
4.9
94 ms
DERIVADAS
Ha visto que surge la misma clase de límite en la búsqueda de la pendiente de una línea
tangente (ecuación 2) o la velocidad de un objeto (ecuación 3). En realidad, los límites de
la forma
fa h fa
lím
h l 0 h
surgen cuando calcula una razón de cambio en cualquiera de las ciencias o en ingeniería,
tal como la velocidad de reacción en química o un costo marginal en economía. Ya que
esta clase de límite sucede, muy seguido, se proporciona un nombre y notación especial.
&
f a se lee “f es fundamental de a”.
4 DEFINICIÓN La derivada de una función f en un número a, se indica
mediante f a, es
fa h fa
fa lím
h l 0 h
si este límite existe.