calculo-de-una-variable-1

716 |||| CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS
Puesto que
cos n 1
para toda n, entonces
cos n
n 2 1 n 2
Sabemos que 1n 2 es convergente (serie p con p 2) y, por lo tanto, cos es
convergente según la prueba por comparación. De esta manera, la serie dada n n 2
cos nn 2
es absolutamente convergente y, debido a eso, convergente de acuerdo con el teorema 3.
La prueba siguiente es muy útil para determinar si una cierta serie es absolutamente
convergente
PRUEBA DE LA RAZÓN
(i) Si , entonces la serie
lím a n1
a n es absolutamente convergente
n l a n
L 1
n1
(y, en consecuencia, convergente).
(ii) Si , o bien, lím a n1
lím , entonces la serie
n l a n
a n1
n l a n
L 1
es divergente.
a n
n1
(iii) Si
lím a n1
, la regla de comparación no es concluyente; es decir, no se
n l a n
1
puede sacar conclusión alguna con respecto a la convergencia o a la
divergencia de a n.
DEMOSTRACIÓN
(i) La idea es comparar la serie dada con una serie geométrica convergente. Puesto
que L 1, puede escoger un número r tal que L r 1. Como
lím
n l
a n1
a n
L
y
L r
el cociente a n1 a n eventualmente será menor que r; es decir, existe un entero N tal que
r cuando n N
a n1
a n
4
que equivale,
a n1 a n r
cuando n N
Al hacer a n sucesivamente igual a N, N 1, N 2,... en (4), se obtiene
y, en general,
a N1 a N r
a N2 a N1 r a N r 2
a N3 a N2 r a N r 3
5
a Nk a N r k
para toda k 1