calculo-de-una-variable-1

360 |||| CAPÍTULO 5 INTEGRALES
2 DEFINICIÓN El área A de la región S que se encuentra debajo de la gráfica de la
función continua f es el límite de la suma de las áreas de los rectángulos de
aproximación:
A lím
n l
R n lím
n l
f x 1 x f x 2 x f x n x
Se puede probar que el límite de la definición 2 siempre existe, porque se supone que
f es continua. También es posible demostrar que se obtiene el mismo valor con los puntos
extremos de la izquierda:
3
A lím
n l
L n lím
n l
f x 0 x f x 1 x f x n1 x
De hecho, en lugar de usar los puntos extremos de la izquierda o los de la derecha, podría
tomar la altura del i-ésimo rectángulo como el valor de f en cualquier número x*
i
en el i-ésimo subintervalo x i1 , x i . A estos números x 1
*, x 2
*, ..., x n * se les llaman puntos
muestras. En la figura 13 se presentan los rectángulos de aproximación cuando se eligen
puntos muestras diferentes de los puntos extremos. De suerte que una expresión más general
para el área de S es
4
A lím
n l
f x 1
* x f x 2
* x f x n * x
y
Îx
f(x i *)
0
a
⁄ ¤ ‹ x i-1 x i x n-1
b
x
x¡* x* x£* x i
*
x n
*
FIGURA 13
Esto indica que
termine con i=n.
Esto indica que
hay que sumar.
Esto indica que hay
que emprezar con i=m.
n
μ f(x i ) Îx
i=m
& Si necesita practicar la notación sigma vea
los ejemplos e intente resolver algunos de los
ejemplos del apéndice E.
A menudo se usa la notación sigma para escribir de manera más compacta las sumas
con muchos términos. Por ejemplo
n
f x i x f x 1 x f x 2 x f x n x
i1
Con lo cual las expresiones para el área, que se dan en las ecuaciones 2, 3 y 4, se pueden
escribir como:
A lím
n l
n
f x i x
i1
A lím
n l
n
f x i1 x
i1
A lím
n l
n
f x i
* x
i1