calculo-de-una-variable-1

174 |||| CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN
Si compara las ecuaciones (1), (2), (3), surge un patrón. Parece razonable presumir que,
cuando n es un entero positivo, (d/dx)(x n ) nx n1 . Esto resulta cierto. Se demuestra de dos
modos; en la segunda demostración se aplica el teorema del binomio
REGLA DE LA POTENCIA
Si n es un entero positivo, en consecuencia
d
dx x n nx n1
PRIMERA DEMOSTRACIÓN
Puede verificar la fórmula
x n a n x ax n1 x n2 a xa n2 a n1
multiplicando sólo el lado derecho (o mediante la suma del segundo factor como una serie
geométrica). Si f x x n , puede aplicar la ecuación 2.7.5 para f a y la ecuación
anterior para escribir
f a lím
x l a
f x f a
x a
lím
x l a
x n a n
x a
lím
x l a
x n1 x n2 a xa n2 a n1
a n1 a n2 a aa n2 a n1
na n1
SEGUNDA DEMOSTRACIÓN
f x lím
h l 0
f x h f x
h
x h n x n
lím
h l 0 h
& El teorema del binomio se da en la
página de referencia 1.
Al hallar la derivada de x 4 , tuvo que desarrollar (x h) 4 . En este caso, necesita desarrollar
(x h) n y, para hacerlo, aplique el teorema del binomio:
n
nn 1
x n nx n1 h x n2 h 2 nxh n1 h x n
2
f x lím
h l 0
nn 1
nx n1 h x n2 h 2 nxh n1 h n
2
lím
h l 0
h
n1
nn 1
lím
h l 0nx n1 x n2 h nxh n2 h
2
nx n1
h
porque todos los términos, excepto el primero, tienen h como factor, y, por lo tanto,
tienden a 0.
En el ejemplo 1, se ilustra la regla de la potencia usando varias notaciones.
EJEMPLO 1
(a) Si f(x) x 6 , después f(x) 6x 5 . (b) Si y x 1000 , por lo tanto y 1000x 999 .
dy
d
(c) Si y t 4 , en seguida . (d)
dr r 3 3r 2
dt 4t 3