calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 2.3 CÁLCULO DE LÍMITES UTILIZANDO LAS LEYES DE LOS LÍMITES |||| 105
y
Puesto que fx 8 2x para x 4, tiene
0
FIGURA 5
4 x
lím
x l 4
f x lím 8 2x 8 2 4 0
x l 4
Los límites del lado derecho y del lado izquierdo son iguales. Por lo tanto, el límite existe y
lím f x 0
x l 4
La gráfica de f se ilustra en la figura 5.
& Otras expresiones para x son x y ⎣x⎦.
A
la función entero máximo algunas veces se le
llama la función piso.
y
4
3
2
1
y=[ x]
EJEMPLO 10 La función mayor entero se define como x el entero más grande que es
menor o igual que x. (Por ejemplo, 4 4, 4.8 4, p 3, s2 1, 1 2 1. )
Demuestre que lím xl3 x no existe.
SOLUCIÓN En la figura 6 se muestra la gráfica de la función entero máximo. Puesto que
x 3 para 3 x 4, tiene
lím x lím 3 3
x l3 x l3
0
1 2 3
4 5 x
Dado que x 2 para 2 x 3, tiene
lím x lím 2 2
x l3 x l3
FIGURA 6
Función máximo entero
En virtud de que estos límites unilaterales no son iguales, por el teorema 1, lím xl3 x
no existe.
En los dos teoremas siguientes se dan dos propiedades adicionales de los límites. Sus
demostraciones se proporcionan en el apéndice F.
2 TEOREMA Si fx tx, cuando x está cerca de a (excepto posiblemente en
a), y los límites de f y t existen cuando x tiende a a, entonces
lím f x lím tx
x l a x l a
3 TEOREMA DE LA COMPRESIÓN
(excepto quizá en a) y
Si fx tx hx, cuando x está cerca de a
y
h
lím f x lím hx L
x l a x l a
L
g
entonces
lím tx L
x l a
f
0 a
x
FIGURA 7
En la figura 7 se ilustra el teorema de la compresión, a veces conocido como teorema
del emparedado o del apretón. Afirma que si tx se comprime entre fx y hx, cerca de
a, y si f y h tienen el mismo límite L en a, por lo tanto es forzoso que t tenga el mismo
límite L en a