calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 3.4 LA REGLA DE LA CADENA |||| 197
el que se ilustra en la figura. Si A es el área del semicírculo
y B es el área del triángulo, halle
lím
B
l 0 A
51.
En la figura se muestra un arco circular de longitud s y una
cuerda de longitud d, los dos subtendidos por un ángulo central
. Encuentre
lím
d
l 0 s
A(¨)
d
s
P
B(¨)
Q
¨
10 cm 10 cm
¨
R
3.4
LA REGLA DE LA CADENA
Suponga que se le pide derivar la función
Fx sx 2 1
& Vea la sección 1.3 para un repaso de
funciones compuestas
Las fórmulas de derivación que aprendió en las secciones anteriores de este capítulo no lo
capacitan para calcular Fx.
Observe que F es una función compuesta. De hecho, si hace y f u su y
u tx x 2 1, en este caso puede escribir y Fx f tx, es decir, F f t.
Sabe cómo derivar tanto f como t, de modo que sería útil contar con una regla que le diga
cómo hallar la derivada de F f t en términos de las derivadas de f y t.
Resulta que la derivada de la función compuesta f t es el producto de las derivadas
de f y t. Este hecho es uno de los más importantes de las reglas de derivación y se llama
regla de la cadena. Parece plausible, si interpreta las derivadas como razones de
cambio. Considere dudx como la relación de cambio de u con respecto a x, dydu como
la relación de cambio de y en relación a u y dydu como la relación de cambio de
y con respecto de x. Si u cambia al doble de rapidez de x y y cambia tres veces más rápido
que u, en este caso resulta razonable que y cambie seis veces más rápido que x y por
lo tanto esperamos que
dy
dx dy
du
du
dx
REGLA DE LA CADENA Si t es derivable en x y f en t(x), entonces la función
compuesta F f t definida mediante Fx f tx, en derivable x y F está
dada por el producto
Fx f tx tx
En la notación de Leibniz, si tanto y f u como u tx son funciones diferenciables,
por lo tanto
dy
dx dy du
du dx