calculo-de-una-variable-1

478 |||| CAPÍTULO 7 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
CASO III & Qx contiene factores cuadráticos irreducibles, ninguno de los cuales se repite.
Si Qx tiene el factor ax 2 bx c, donde b 2 4ac 0, entonces, además de las fracciones
parciales en las ecuaciones 2 y 7, la expresión para RxQx tendrá un término de
la forma
9
Ax B
ax 2 bx c
donde A y B son constantes por determinar. Por ejemplo, la función dada por
f x xx 2x 2 1x 2 4 tiene una descomposición en fracciones parciales de
la forma
x
x 2x 2 1x 2 4
A
x 2 Bx C
x 2 1 Dx E
x 2 4
El término dado en (9) se puede integrar completando el cuadrado y con la fórmula
10
y
dx
x 2 a 2 1 a tan1 x a C
V
EJEMPLO 5 Evalúe y 2x 2 x 4
dx.
x 3 4x
SOLUCIÓN Puesto que x 3 4x xx 2 4 no se puede factorizar más, se escribe
2x 2 x 4
xx 2 4
A x Bx C
x 2 4
Multiplicando por xx 2 4, se tiene
2 x 2 x 4 Ax 2 4 Bx Cx
A Bx 2 Cx 4A
Al igualar los coeficientes, se obtiene
A B 2
C 1
4A 4
Así, A 1, B 1 y C 1 y, por lo tanto,
y 2x 2 x 4
x 3 4x
A fin de integrar el segundo término, se divide en dos partes:
y x 1
x 2 4 dx y
dx y 1 x x 1
x 2 4 dx
x
x 2 4 dx y
1
x 2 4 dx
Se hace la sustitución u x 2 4 en la primera de estas integrales de modo que
du 2x dx. Se evalúa la segunda integral por medio de la fórmula 10 con a 2:
y 2x 2 x 4
dx y 1 xx 2 4 x dx x
y
x 2 4 dx 1
y
x 2 4 dx
ln x 1 2 lnx 2 4 1 2 tan 1 x2 K