calculo-de-una-variable-1

8 |||| PRESENTACIÓN PRELIMINAR DEL CÁLCULO
Zenón argumentaba que no tiene sentido sumar una infinidad de números. Pero existen
otras situaciones en que, implícitamente, se usan sumas infinitas. Por ejemplo, en notación
decimal, el símbolo 0.3 0.3333... significa
3
10 3
100 3
1000 3
10 000
y, por lo tanto, en cierto sentido, debe ser cierto que
De modo más general, si
número, entonces
3
10 3
100 3
1000 3
10 000 1 3
d n
denota el n-ésimo dígito en la representación decimal de un
0.d 1 d 2 d 3 d 4 ... d 1
10 d 2
10 2 d 3
10 3 d n
10 n
Por lo tanto, algunas sumas infinitas, o series infinitas como se les llama, tienen un significado.
Pero debe definir con cuidado lo que es la suma de una serie infinita.
Considere de nuevo la serie de la ecuación 3 y denote con s n la suma de los primeros n
términos de la serie. De este modo
s 1 1 2 0.5
s 2 1 2 1 4 0.75
s 3 1 2 1 4 1 8 0.875
s 4 1 2 1 4 1 8 1 16 0.9375
s 5 1 2 1 4 1 8 1 16 1 32 0.96875
s 6 1 2 1 4 1 8 1 16 1 32 1 64 0.984375
s 7 1 2 1 4 1 8 1 16 1 32 1 64 1
128 0.9921875
s 10 1 2 1 4 1
1024 0.99902344
s 16 1 2 1 4 1
16
0.99998474
2
Observe que conforme agrega más y más términos, las sumas parciales se aproximan cada
vez más a 1. De hecho, se puede demostrar que, si n es suficientemente grande (es decir,
si se suman un número suficiente de términos de la serie), es posible aproximar la suma
parcial s n tanto como desee al número 1. Por lo tanto, parece razonable decir que la serie
infinita es 1 y escribir
1
2 1 4 1 8 1 2 n 1